⑦ y 軸 と必ず
○ y ＝ 3 x ² ＋ 2 x ＋ 1 と y 軸 ( x ＝ 0 ) との交点の座標を求めなさい。
y ＝ 3 x ² ＋ 2 x ＋ 1
と
x ＝ 0 で x を消去すると、
y ＝ 3 ・0 ² ＋ 2 ・0 ＋ 1
y ＝ 1
となるから。
y ＝ 3 x ² ＋ 2 x ＋ 1 は、y 軸 と 点 ( 0 , 1 ) で交わる。
○ y ＝ － x ² － 4 x － 4 と y 軸 ( x ＝ 0 ) との交点の座標を求めなさい。
y ＝ － x ² － 4 x － 4
と
x ＝ 0 で x を消去すると、
y ＝ － 0 ² － 4 ・0 － 4
y ＝ － 4
となるから。
y ＝ － x ² － 4 x － 4 は、y 軸 と 点 ( 0 , － 4 ) で交わる。
【 おさらい ： 完全平方式より 向き ・ 軸 ・ 頂点を、
y ＝ 0 より ２次方程式を解いて x 軸との交点を、
x ＝ 0 を代入して y 軸との交点を 】
y ＝ x ² － 2 x ＋ 2
y ＝ x ² － 2 x ＋ 1 － 1 ＋ 2
y ＝ ( x － 1) ² ＋ 1
・ 向きは、1 ＞ 0 より、下に凸 谷型 である。
・ 軸は、x ＝ 1 である。
・ 頂点は、( 1 , 1 ) である。
y ＝ x ² － 2 x ＋ 2 と y ＝ 0 より、y を消去すると、
x ² － 2 x ＋ 2 ＝ 0
x ＝ 1 ± √( 1 － 2 ) [ x ＝－b’±√( b’² － a c ) の 利用 ]
＝ 1 ± √(－ 1)
＝ 1 ± i
・ x 軸との交点は、なし。
y ＝ x ² － 2 x ＋ 2 と x ＝ 0 より、x を消去すると、
y ＝ 0 ² － 2 ・0 ＋ 2
y ＝ 2
・ y 軸との交点は、( 0 , 2 ) である。
○ y ＝ － x ² － x ＋ 6 のグラフの向き、軸、頂点、x 軸との交点、y 軸との交点を求めなさい。
○ y ＝ －2 x ² －8 x － 8 のグラフの向き、軸、頂点、x 軸との交点、y 軸との交点を求めなさい。
【 ２次関数の式は、様々 】
２次関数の式は、
一般的に、
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c と書ける。
頂点を考えると、
y ＝ a ( x － p ) ² ＋ q と書ける。
x 軸との関係を考えると、
y ＝ a ( x －α)( x －β) と書ける。 ( x 軸との交点(α, 0 ) , (β, 0 ) )
おさらい ： 今回 ⑦ までの流れ
先ず
中３の２次関数 y ＝ a x ² を平行移動により、
y ＝ a ( x － p ) ² ＋ q と 一般化した。
次に
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( ただし、a ≠ 0 ) を
y ＝ a ( x ＋ b/2a )²－(b²－4ac)/4a と 完全平方式 に変形し、頂点を求めた。
さらに
２次の係数により、向きを判断し、
軸 と 頂点 を求めた。
さらさらに
x 軸 ( y ＝ 0 ) との関係を考えるため、
向き と 頂点の位置 を判断したり、
２次方程式を解いた。
その結果
x 軸との交点は、なしか １つあるか ２つあるかの ３つの場合 があることを知った。
y ＝ a ( x －α)( x －β) と書けることも知った。 ( x 軸との交点(α, 0 ) , (β, 0 ) )
さらさらさらに
y 軸 ( x ＝ 0 ) と必ず交わることを知った。
次回 ⑧ グラフ につづきます。