⑥ x 軸との交点は？
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( a ≠ 0 ) について
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
は
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － ( [b ² － 4ac] ) / 4a
と変形できる。
向き a ＞ 0 のとき、下に凸 (谷型)
a ＜ 0 のとき、上に凸 (山型)
軸
x ＝ －b/2a
頂点
( －b/2a , －( [b ² － 4ac} )/4a )
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c と x 軸 ( y ＝ 0 ) との関係
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
と
y ＝ 0 より、
y を消去して 方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) を解く。
a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0
⇔ a x ² ＋ b x ＝ － c
⇔ x ² ＋ (b/a) x ＝ － c/a [ ∵ a ≠ 0 ]
⇔ x ² ＋ (b/a) x ＋ (b/2a) ² ＝ － c/a ＋ (b/2a) ²
⇔ ( x ＋ b/2a ) ² ＝ ( [b ²－4ac] ) / 4a ²
⇔ x ＋ b/2a ＝ ±√( [b ²－4ac] ) / 2a
⇔ x ＝ － b/2a ± √( [b ²－4ac] ) / 2a
⇔ x ＝ { － b ± √( [b ²－4ac] ) } / 2a ・ ・ ・ ・ ・ ①
よって、
もし y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c が x 軸 ( y ＝ 0 ) と交点をもつなら、
その座標は ( { － b ± √( [b ²－4ac] ) } / 2a , 0 ) である。
(Ⅰ) a ＞ 0 のとき、グラフの向きは下に凸 谷型である。
このときの 頂点 と x 軸 ( y ＝ 0 ) との位置を考え、放物線 と x 軸の交点を考える。
ⅰ) 頂点が x 軸の上方にあるとき、( 頂点の y 座標は [ 0 ] より大きい。) x 軸との交点はなし。
－(b ² － 4ac )/4a ＞ [ 0 ]
a ＞ 0 だから、
－(b ² － 4ac ) ＞ 0
ゆえに、
b ² － 4ac ＜ 0
このとき、
① より x は虚数となり、x 座標は求められないので、確かに交点は存在しない。
ⅱ) 頂点が x 軸上にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 に [等しい]。) x 軸との交点は１つ。
－(b ² － 4ac )/4a [＝] 0
－(b ² － 4ac ) [＝] 0
ゆえに、
b ² － 4ac [＝] 0
このとき、
① より x は重解となり、x 座標は１つだけ求められるので、確かに交点は１つである。
ⅲ) 頂点が x 軸の下方にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 より小さい。) x 軸との交点は２つ。
－(b ² － 4ac )/4a ＜ 0
a ＞ 0 だから、
－(b ² － 4ac ) ＜ 0
ゆえに、
b ² － 4ac ＞ 0
このとき、
① より x は異なる２つの[実数] となり、x 座標は２つ求められるので、
確かに交点は２つ存在する。
(Ⅱ) a ＜ 0 のとき、グラフの向きは上に凸 山型である。
このときの 頂点 と x 軸 ( y ＝ 0 ) との位置を考え、放物線 と x 軸の交点を考える。
ⅳ) 頂点が x 軸の下方にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 より [小さい]。) x 軸との交点はなし。
－(b ² － 4ac )/4a [＜] 0
a [＜] 0 だから、
－(b ² － 4ac ) [＞] 0
ゆえに、
b ² － 4ac [＜] 0
このとき、
① より x は [虚数] となり、x 座標は求められないので、確かに交点は存在しない。
ⅴ) 頂点が x 軸上にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 に [等しい]。) x 軸との交点は１つ。
－(b ² － 4ac )/4a [＝] 0
－(b ² － 4ac ) [＝] 0
ゆえに、
b ² － 4ac [＝] 0
このとき、
① より x は重解となり、x 座標は１つだけ求められるので、確かに交点は１つである。
ⅵ) 頂点が x 軸の上方にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 より大きい。) x 軸との交点は２つ。
－(b ² － 4ac )/4a [＞] 0
a ＜ 0 だから、
－(b ² － 4ac ) [＜] 0
ゆえに、
b ² － 4ac [＞] 0
このとき、
① より x は異なる２つの実数となり、x 座標は２つ求められるので、
確かに交点は２つ存在する。
以上より、
b ² － 4ac ＜ 0 のとき、 x 軸との交点なし。
b ² － 4ac ＝ 0 のとき、交点の x 座標は －b/2a であり、 x 軸と接する。
b ² － 4ac ＞ 0 のとき、
交点の x 座標は { － b － √( b ²－4ac ) } / 2a と { － b ＋ √( b ²－4ac ) } / 2a であり、
x 軸と２点で交わる。
x 軸との関係を考えると、
b ² － 4ac ＜ 0 のとき、 y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － ( b ² － 4ac ) / 4a のまま。
b ² － 4ac ＝ 0 のとき、 y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ²
α＝－b/2a とすると、
y ＝ a ( x － α) ² ともかける。
b ² － 4ac ＞ 0 のとき、 y ＝ a ( x － { － b － √( b ²－4ac ) } / 2a ) ( x － { － b ＋ √( b ²－4ac ) } / 2a )
α＝ { － b － √( b ²－4ac ) } / 2a , β＝ { － b ＋ √( b ²－4ac ) } / 2a とすると、
y ＝ a ( x － α) ( x － β) ともかける。
【 y 軸との関係 】
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( a ≠ 0 ) は、
必ず y 軸 ( x ＝ 0 ) と交わる。
なぜなら、
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
と
x ＝ 0 で x を消去すると、
y ＝ a ・0 ² ＋ b ・0 ＋ c
y ＝ c
となるから。
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c は、y 軸 と 点 ( 0 , c ) で交わる。
○ y ＝ 3 x ² ＋ 2 x ＋ 1 と y 軸 ( x ＝ 0 ) との交点の座標を求めなさい。
○ y ＝ － x ² － 4 x － 4 と y 軸 ( x ＝ 0 ) との交点の座標を求めなさい。
次回 ⑦ y 軸 と必ず につづきます。