⑧ グラフ
○ y ＝ － x ² － x ＋ 6 のグラフの向き、軸、頂点、x 軸との交点、y 軸との交点を求めなさい。
y ＝ － x ² － x ＋ 6
y ＝ － ( x ² ＋ x ) ＋ 6
y ＝ － ( x ² ＋ x ＋ 1/4 － 1/4 ) ＋ 6
y ＝ － ( x ＋ 1/2 ) ² ＋ 1/4 ＋ 6
y ＝ － ( x ＋ 1/2 ) ² ＋ 25/4
向きは、－ 1 ＜ 0 より、上に凸 山型 である。
軸は、x ＝ － 1/2 である。
頂点は、( － 1/2 , 25/4 ) である。
y ＝ － x ² － x ＋ 6 と y ＝ 0 より、y を消去すると、
－ x ² － x ＋ 6 ＝ 0
x ² ＋ x － 6 ＝ 0
( x ＋ 3 )( x－ 2 ) ＝ 0
x ＝ －3 , 2
x 軸との共有点は、(－3 , 0 ) , ( 2 , 0 ) である。
y ＝ － x ² － x ＋ 6 と x ＝ 0 より、x を消去すると、
y ＝ － 0 ² － 0 ＋ 6
y ＝ 6
y 軸との交点は、( 0 , 6 ) である。
○ y ＝ －2 x ² －8 x － 8 のグラフの向き、軸、頂点、x 軸との交点、y 軸との交点を求めなさい。
y ＝ －2 x ² － 8 x － 8
y ＝ －2 ( x ² ＋ 4 x ) － 8
y ＝ －2 ( x ² ＋ 4 x ＋ 4 － 4 ) － 8
y ＝ －2 ( x ＋ 2 ) ² ＋ 8 － 8
y ＝ －2 ( x ＋ 2 ) ²
向きは、－2 ＜ 0 より、上に凸 山型 である。
軸は、x ＝ －2 である。
頂点は、( －2 , 0 ) である。
y ＝ －2 x ² － 8 x － 8 と y ＝ 0 より、y を消去すると、
－2 x ² － 8 x － 8 ＝ 0
x ² ＋ 4 x ＋ 4 ＝ 0
( x ＋ 2 ) ² ＝ 0
x ＝ － 2
x 軸との共有点は、( －2 , 0 ) で、x 軸と接する。
y ＝ －2 x ² － 8 x － 8 と x ＝ 0 より、x を消去すると、
y ＝ －2 ・0 ² － 8 ・0 － 8
y ＝ －8
y 軸との交点は、( 0 , －8 ) である。
( x 軸 と y 軸をひき、原点ををとり、グラフを描いて確認を )
【 ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフの状態 ・状況 】
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － (b ² － 4ac) / 4a
・ 向き a ＞ 0 のとき、下に凸 谷型
a ＜ 0 のとき、上に凸 山型
・ 軸 x ＝ －b/2a
・ 頂点 ( －b/2a , － (b ² － 4ac) / 4a )
・ x 軸との共有点 ( { －b±√(b² － 4ac) } / 2a , 0 )
ただし、
b² － 4ac ＞ 0 のとき、x 軸と２点で交わる
b² － 4ac ＝ 0 のとき、x 軸と１点で接する
b² － 4ac ＜ 0 のとき、x 軸との共有点なし
・ y 軸との交点 ( 0 , c )
５つの観点
・ 向き
・ 軸の位置
・ 頂点の位置
・ x 軸との共有点があるなし と その数 と その位置
・ y 軸との交点の位置
による情報に基づき、
２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフの状態 ・状況が把握できます。
２次関数のグラフの状態 ・状況を把握することは、２次関数問題の本質です。
５つの観点からグラフの状態 ・状況を把握しグラフを描くことは、
２次関数問題を解くための基本であり、本質なのです。
ここで手を抜くと、応用はできません。
基本ができているから、本質をつかんでいるから、
次のような
１つの観点についての情報が与えられ、
他の観点について考える問題にも対応できるのです。
○ 問い Ⅰ
グラフが次のようになるとき、
a , b , c についての条件を、下の (ア) ～ (サ) を参考にして、答えなさい。
(１) ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸の正と負の領域 両方と交わるとき
(２) y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( a ≠ 0 ) のグラフが、 x 軸の正の領域と２点で交わるとき
(３) y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( a ≠ 0 ) のグラフが、 x 軸と交わらないとき
(４) y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( a ≠ 0 ) のグラフが、 x 軸の負の領域と２点で交わるとき
(５) ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸の負の領域で接するとき
(６) ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸と原点で接するとき
(７) y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( a ≠ 0 ) のグラフが、 x 軸と共有点をもつとき
(ア) a ＞ 0 (イ) a ＜ 0 (ウ) c ＞ 0 (エ) c ＝ 0 (オ) c ＜ 0
(カ) b² － 4ac ＞ 0 (キ) b² － 4ac ＝ 0 (ク) b² － 4ac ＜ 0
(ケ) －b/2a ＞ 0 (コ) －b/2a ＝ 0 (サ) －b/2a ＜ 0
○ 問い Ⅰ を解くための 問い (ⅰ)
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
( ただし、移動の後の２次関数の式も、常に y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c であるとする。)
先ず、
下に凸 (谷型)で x 軸の負の領域と２点で交わる
２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c について考えると、
a [ ] 0 と b² － 4ac [ ] 0 そして －b/2a [ ] 0 と c [ ] 0 である。 これを 状況① とする。
状況① から 放物線を x 軸正の方向にずらしてゆくと、
やがて x 軸との２交点の[ ]側の点 と y 軸との交点が一致する。 これを 状況② とする。
このとき、
a ＞ 0 と b² － 4ac ＞ 0 そして [ ] と [ ] である。
状況② から 放物線を x 軸正の方向に少しずらすと、
x 軸との２交点の x 座標は正と負になる。 これを 状況③ とする。
このとき、
a ＞ 0 と b² － 4ac ＞ 0 そして [ ] と [ ] である。
状況③ から 放物線を x 軸正の方向にずらしてゆくと、
放物線の軸 と y 軸とが一致する。 これを 状況④ とする。
このとき、
a ＞ 0 と b² － 4ac ＞ 0 そして [ ] と [ ] である。
状況④ から 放物線を x 軸正の方向にずらしてゆくと、
x 軸との２交点の[ ]側の点 と y 軸との交点が一致する。 これを 状況⑤ とする。
このとき、
a ＞ 0 と b² － 4ac ＞ 0 そして [ ] と [ ] である。
状況⑤ から 放物線を x 軸正の方向に少しずらすと、
x 軸との２交点は、x 軸正の領域にある。 これを 状況⑥ とする。
このとき、
a ＞ 0 と b² － 4ac ＞ 0 そして [ ] と [ ] である。
( x 軸 と y 軸をひき、原点ををとり、グラフを描いて確認を )
次回 ⑨ x 軸との交わり方 につづきます。