⑲ 区間と軸
必ず、グラフを描いて確認を！
１. ２本の濃い直線を縦にひき 区間をとる。
２. 軸 として３本目は、薄い直線を縦にひく。
３. 頂点をとり 向きに注意して 放物線を描く。
４. 区間内のグラフの状態を確認。
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ a x² ＋ b x ＋ c ( a ＞ 0 ) ( 1 ≦ x ≦ 3 ) のとき、
この最大値・最小値を求める。
ｆ (x) ＝ [ a x² ＋ b x ＋ c ] とおく。
グラフの向きは、 a ＞ 0 より [下に凸]
軸は、 x ＝ [－b/2a ]
頂点は、 ( [－b/2a ] , [－(b²－4ac)/4a ] )
軸 (頂点) を区間の左側から少しずつ移動させながら、考える。
ⅰ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の外で、左側にある、すなわち
[－b/2a ] ＜ 1 のとき、
向きが[下に凸]だから、区間内でのグラフは常に[増加]する。
よって、値域は、[ ｆ (1) ] ≦ y ≦ [ ｆ (3) ]
ⅱ) [－b/2a ] ＝ 1 のとき、
区間内でのグラフは常に[増加]する。
よって、値域は、[ ｆ (1) ] ≦ y ≦ [ ｆ (3) ]
ⅲ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の内で、中点 x ＝ 2 の左側にある、すなわち
1 ＜ [－b/2a ] ＜ 2 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、[－(b²－4ac)/4a ] ≦ y ≦ [ ｆ (3) ]
ⅳ) [－b/2a ] ＝ 2 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、[－(b²－4ac)/4a ] ≦ y ≦ [ ｆ (3) ] ＝ [ ｆ (1) ]
ⅴ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の内で、中点 x ＝ 2 の右側にある、すなわち
2 ＜ [－b/2a ] ＜ 3 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、[－(b²－4ac)/4a ] ≦ y ≦ [ ｆ (1) ]
ⅵ) [－b/2a ] ＝ 3 のとき、
区間内でのグラフは常に[減少]する。
よって、値域は、[ ｆ (3) ] ≦ y ≦ [ ｆ (1) ]
ⅶ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の外で、右側にある、すなわち
3 ＜ [－b/2a ] のとき、
区間内でのグラフは常に[減少]する。
よって、値域は、[ ｆ (3) ] ≦ y ≦ [ ｆ (1) ]
ⅰ) から ⅶ) より、
－b/2a ≦ 1 のとき、 値域は、ｆ (1) ≦ y ≦ ｆ (3)
1 ≦－b/2a ≦ 2 のとき、 値域は、－(b²－4ac)/4a ≦ y ≦ ｆ (3)
2 ≦－b/2a ≦ 3 のとき、 値域は、－(b²－4ac)/4a ≦ y ≦ ｆ (1)
3 ≦－b/2a のとき、 値域は、ｆ (3) ≦ y ≦ ｆ (1)
ｆ (1) ＝ [ a ＋ b ＋ c ]
ｆ (3) ＝ [ 9a ＋ 3b ＋ c ] だから、
答えは、
－b/2a ≦ 1 のとき、 最大値 9a ＋ 3b ＋ c
最小値 a ＋ b ＋ c
1 ≦－b/2a ≦ 2 のとき、 最大値 9a ＋ 3b ＋ c
最小値 －(b²－4ac)/4a
2 ≦－b/2a ≦ 3 のとき、 最大値 a ＋ b ＋ c
最小値 －(b²－4ac)/4a
3 ≦－b/2a のとき、 最大値 a ＋ b ＋ c
最小値 9a ＋ 3b ＋ c
である。
７つの場合のグラフを描くのは、めんどくさい かもしれないが。
この７つの場合のグラフを描くことは、とても重要です。
変化の本質を学習するのに もってこい ですから。
変化を理解するには、
変化しないもの と 変化するものが必要です。
・ グラフの向きや形 ( 対称性 ) や 区間の位置 は、変化しない。
・ グラフと区間の状況 ( 位置関係 ) が、変化する。
この連続的な変化の中で、特徴的な状況を把握することが必要です。
１ 区間の２つの端点と中点により、４つの領域ができる。
２ この４つの領域内、２つの端点、中点のどこかに軸がある と考えることにより、
とりあえず ７つの場合 ( 状況 ) を把握できる。
結果として、区間内のグラフの状態により、答えは ４つの場合にまとめられる。
専門家の中には、
現実の状況・状態を 変化の中で うまく把握できないものもいます。
問題解決のための勉強が不足していたのでしょう。
○ y ＝ a x² ＋ b x ＋ c ( a ＜ 0 ) ( 1 ≦ x ≦ 3 ) のとき、
この最大値・最小値を求めなさい。
次回 ⑳ 区間と軸 ２ につづきます。