⑱ 記号 ｆ (x) エフエックス
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝－2 x² ＋ 8 x － 6 の定義域が 0 ≦ x ≦ 3 のとき、
ｆ (x) ＝[－2 x² ＋ 8 x － 6 ] とおくと
(閉) 区間 0 ≦ x ≦ 3 の
端点 0 の 端点値 は[ ｆ (0) ]
端点 3 の 端点値 は[ ｆ (3) ] と書ける。
つまり、y ＝ ｆ (x) のグラフ上の点 ( 0 , [ ｆ (0) ] ) , ( 3 , [ ｆ (3) ] ) と書ける。
いちいち
計算して
点 ( 0 , [－6 ] ) , ( 3 , [ 0 ] ) と書かなくてもよい。
しかし、必要に応じて 計算すること。
ｆ (x) ＝[－2 x² ＋ 8 x － 6 ] を完全平方式を使って変形すると
ｆ (x) ＝[－2 ( x － 2 ) ² ＋ 2 ]
向き [上に] 凸
軸 [ x ＝ 2 ]
頂点 ( [ 2 , 2 ] )
区間 0 ≦ x ≦ 3 より、
端点および 端点値 ( 0 , ｆ (0) ) , ( 3 , ｆ (3) )
また
軸 (頂点)は、区間内にあり、区間の中点より[右] 側にある。
よって、グラフの向き と 対称性を考えると 値域は [ ｆ (0) ] ≦ y ≦ [ 2 ] である。
ゆえに
最大値は、2 ( x ＝[ 2 ] のとき ) であり、
最小値は、ｆ (0) すなわち [－6 ] ( x ＝[ 0 ] のとき ) である。
数Ⅱの「微分法」で習う
y ＝ ｆ (x) 上の点 ( α , ｆ (α) ) における接線の方程式は、
ｆ (x) を x で１回微分した１次導関数 ｆ ’(x) に x ＝α を代入した ｆ ’(α) を傾きとして、
１点と傾きの公式より、 y ＝ ｆ ’(α) ( x－α) ＋ ｆ (α) である。
３次関数 y ＝ a x³ ＋ b x² ＋ c x ＋ d 上の x 座標がαである点における接線の方程式は、
y を x で１回微分した１次導関数 y ’＝ 3 a x² ＋ 2 b x ＋ c に
x ＝α を代入した 3 a α² ＋ 2 b α ＋ c を傾きとして、
１点と傾きの公式より、
y ＝ ( 3 a α² ＋ 2 b α ＋ c ) ( x－α) ＋ a α³ ＋ b α² ＋ c α ＋ d である。
これは、とても煩雑に見える。
ｆ (x) ＝ a x³ ＋ b x² ＋ c x ＋ d とおくと、
接線の方程式は
１点 ( α , ｆ (α) ) を通り、傾きが ｆ ’(α) の直線だから、
１点と傾きの公式より、 y ＝ ｆ ’(α) ( x－α) ＋ ｆ (α) と書ける。
記号 ｆ (x) を使うと、見た目スッキリで表すことができる。
( 接線の方程式を一般化・公式化できる )
しかし、
具体的に計算して求めなければならないときは、
煩雑に負けず 計算ミスをせず、
y ＝ ( 3 a α² ＋ 2 b α ＋ c ) ( x－α) ＋ a α³ ＋ b α² ＋ c α ＋ d
＝ ( 3 a α² ＋ 2 b α ＋ c ) x －3 a α³ － 2 b α² － c α ＋ a α³ ＋ b α² ＋ c α ＋ d
＝ ( 3 a α² ＋ 2 b α ＋ c ) x －2 a α³ － b α² ＋ d
傾き y 切片
と計算すること。
x の関数 ： function x (ファンクションエックス)
x の関数を 記号 ｆ (x) を使って表記する利点
１つ 関数の式を とりあえず y ＝ ｆ (x) とスッキリ示す
１つ 区間の端点値を とりあえず スッキリ示す
１つ 点の y 座標を とりあえず スッキリ示す
１つ y ＝ ｆ (x) の接線の方程式を とりあえず スッキリ示す
など
【 記号 ｆ (x) を使って、端点値を 】
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ a x² ＋ b x ＋ c ( a ＞ 0 ) ( 1 ≦ x ≦ 3 ) のとき、
この最大値・最小値を求める。
ｆ (x) ＝ [ ] とおく。
グラフの向きは、 a ＞ 0 より [ ]
軸は、 x ＝ [ ]
頂点は、 ( [ ] , [ ] )
軸 (頂点) を区間の左側から少しずつ移動させながら、考える。
ⅰ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の外で、左側にある、すなわち
[ ] ＜ 1 のとき、
向きが[ ]だから、区間内でのグラフは常に[ ]する。
よって、値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅱ) [ ] ＝ 1 のとき、
区間内でのグラフは常に[ ]する。
よって、値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅲ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の内で、中点 x ＝ 2 の左側にある、すなわち
1 ＜ [ ] ＜ 2 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅳ) [ ] ＝ 2 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ] ＝ [ ]
ⅴ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の内で、中点 x ＝ 2 の右側にある、すなわち
2 ＜ [ ] ＜ 3 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅵ) [ ] ＝ 3 のとき、
区間内でのグラフは常に[ ]する。
よって、値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅶ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の外で、右側にある、すなわち
3 ＜ [ ] のとき、
区間内でのグラフは常に[ ]する。
よって、値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅰ) から ⅶ) より、
－b/2a ≦ 1 のとき、 値域は、ｆ (1) ≦ y ≦ ｆ (3)
1 ≦－b/2a ≦ 2 のとき、 値域は、－(b²－4ac)/4a ≦ y ≦ ｆ (3)
2 ≦－b/2a ≦ 3 のとき、 値域は、－(b²－4ac)/4a ≦ y ≦ ｆ (1)
3 ≦－b/2a のとき、 値域は、ｆ (3) ≦ y ≦ ｆ (1)
ｆ (1) ＝ [ ]
ｆ (3) ＝ [ ] だから、
答えは、
－b/2a ≦ 1 のとき、 最大値 9a ＋ 3b ＋ c
最小値 a ＋ b ＋ c
1 ≦－b/2a ≦ 2 のとき、 最大値 9a ＋ 3b ＋ c
最小値 －(b²－4ac)/4a
2 ≦－b/2a ≦ 3 のとき、 最大値 a ＋ b ＋ c
最小値 －(b²－4ac)/4a
3 ≦－b/2a のとき、 最大値 a ＋ b ＋ c
最小値 9a ＋ 3b ＋ c
である。
次回 ⑲ 区間と軸 につづきます。