⑳ 区間と軸 ２
○ y ＝ a x² ＋ b x ＋ c ( a ＜ 0 ) ( 1 ≦ x ≦ 3 ) のとき、
この最大値・最小値を求めなさい。
ｆ (x) ＝ a x² ＋ b x ＋ c とおく。
グラフの向きは、a ＜ 0 より 上に凸
軸は、x ＝－b/2a
頂点は、( －b/2a , －(b²－4ac)/4a )
軸 (頂点) を区間の左側から少しずつ移動させながら、考える。
ⅰ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の外で、左側にある、すなわち
－b/2a ＜ 1 のとき、
向きが下に凸だから、区間内でのグラフは 常に 減少 する。
値域は、 ｆ (3) ≦ y ≦ ｆ (1)
ⅱ) －b/2a ＝ 1 のとき、
区間内でのグラフは 常に 減少 する。
値域は、 ｆ (3) ≦ y ≦ ｆ (1)
ⅲ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の内で、中点 x ＝ 2 の左側にある、すなわち
1 ＜－b/2a ＜ 2 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、 ｆ (3) ≦ y ≦ －(b²－4ac)/4a
ⅳ) －b/2a ＝ 2 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、 ｆ (1)＝ｆ (3) ≦ y ≦ －(b²－4ac)/4a
ⅴ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の内で、中点 x ＝ 2 の右側にある、すなわち
2 ＜－b/2a ＜ 3 のとき、
グラフの対称性を考えて、
値域は、 ｆ (1) ≦ y ≦ －(b²－4ac)/4a
ⅵ) －b/2a ＝ 3 のとき、
区間内でのグラフは 常に 増加 する。
値域は、ｆ (1) ≦ y ≦ ｆ (3)
ⅶ) 軸 (頂点) が 区間 1 ≦ x ≦ 3 の外で、右側にある、すなわち
3 ＜－b/2a のとき、
区間内でのグラフは 常に 増加 する。
値域は、ｆ (1) ≦ y ≦ ｆ (3)
ⅰ) から ⅶ) より、
－b/2a ≦ 1 のとき、 値域は、 ｆ (3) ≦ y ≦ ｆ (1)
1 ≦－b/2a ≦ 2 のとき、 値域は、 ｆ (3) ≦ y ≦ －(b²－4ac)/4a
2 ≦－b/2a ≦ 3 のとき、 値域は、 ｆ (1) ≦ y ≦ －(b²－4ac)/4a
3 ≦－b/2a のとき、 値域は、 ｆ (1) ≦ y ≦ ｆ (3)
ｆ (1) ＝ a ＋ b ＋ c
ｆ (3) ＝9a ＋ 3b ＋ c だから、
答えは、
－b/2a ≦ 1 のとき、 最大値 a ＋ b ＋ c
最小値 9a ＋ 3b ＋ c
1 ≦－b/2a ≦ 2 のとき、 最大値 －(b²－4ac)/4a
最小値 9a ＋ 3b ＋ c
2 ≦－b/2a ≦ 3 のとき、 最大値 －(b²－4ac)/4a
最小値 a ＋ b ＋ c
3 ≦－b/2a のとき、 最大値 9a ＋ 3b ＋ c
最小値 a ＋ b ＋ c
である。
区間の端点・中点 と 軸の位置関係に注意！
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ x² ＋ 2 x ＋ 1 ( a ≦ x ≦ a ＋ 2 ) のとき、
この最大値・最小値を求めなさい。
ｆ (x) ＝ [ ] とおく。
ｆ (x) ＝ ( x ＋ 1 ) ²
向き 1 ＞ 0 より、下に凸
軸 x ＝－ 1
頂点 ( － 1 , 0 )
グラフは固定しているが、定義域すなわち区間は移動する。
よって、区間を 軸の左側から右側へ移動させ、場合分けしていく。
ⅰ) [ ] ≦ －1 すなわち a ≦ －3 のとき、
区間内でグラフは、常に [ ] するから
値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅱ) [ ] ≦ －1 ≦ a ＋ 2 すなわち －3 ≦ a ≦ －2 のとき、
軸 (頂点) は、区間内で中点の右側にあるから、
グラフの向きと対称性を考えると、
値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅲ) [ ] ＝ －1 すなわち a ＝ －2 のとき、
グラフの向きと対称性を考えると、
値域は、[ ] ≦ y ≦ ｆ ( a ) ＝ ｆ ( a＋2 )
ⅳ) [ ] ≦ －1 ≦ [ ] すなわち －2 ≦ a ≦ －1 のとき、
軸 (頂点) は、区間内で中点の左側にあるから、
グラフの向きと対称性を考えると、
値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ⅴ) －1 ≦ a のとき、
区間内でグラフは、常に [ ] するから
値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ]
ｆ ( －1 ) ＝ [ ]
ｆ ( a ) ＝ [ ]
ｆ ( a＋2 ) ＝ ( a＋2 ) ² ＋ 2 ( a＋2 ) ＋ 1
＝ [ ] なので
ⅰ) から ⅴ) より、
答えは、
a ≦ －3 のとき、最大値 [ ]
最小値 [ ]
－3 ≦ a ≦ －2 のとき、最大値 [ ]
最小値 0
－2 ≦ a ≦ －1 のとき、最大値 [ ]
最小値 0
－1 ≦ a のとき、最大値 [ ]
最小値 [ ]
である。
[ ] があれば、最大値と最小値は必ず存在し、
[ ]での２次関数のグラフの状態により、
２つの[ ]、[ ]のy 座標の いずれかが、最大値と最小値になる。
次回 ㉑ より大きく 小さい解 につづきます。