㉛ より大きく 小さい解 11
問い Ⅷ
方程式 x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 が
1 より大きい解を 少なくとも１つもつ とき、
b , c の関係式を求めよ。
( 解答 )
方程式 x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 が
1 より大きい解を 少なくとも１つもつ
とは
関数 y ＝ x ² ＋ b x ＋ c が x 軸と
区間 1 ＜ x で 少なくとも１つの共有点をもつ
ということである
ｆ (x) ＝ x ² ＋ b x ＋ c とおく
区間 1 ＜ x と 少なくとも１つの共有点をもつ ので
必ず、区間 1 ＜ x に共有点が１つある
だから
２つ目が どこにあるのか による場合分けが必要になる
１ ) ２つ目も 区間 1 ＜ x にあるとき、
y ＝ ｆ (x) のグラフの向きは下に凸、
x 軸の区間 1 ＜ x と １点で接するか ２点で交わるから、 ( １区間 )
軸は、区間 1 ＜ x にあり、 1 ＜－b/2 となる
頂点は、x 軸上にあるか x 軸の下にあるから、 b² － 4 c ≧ 0 となる
端点値について考えると、 ｆ (1) ＞ 0 となる
ｆ (1) ＝ b ＋ c ＋ 1 ＞ 0 より、
求める b , c の関係式は、
b ＜－2 かつ c ≦ b²/4 かつ c ＞－b －1
である。
２ ) ２つ目が x ＝ 1 にあるとき、
y ＝ ｆ (x) のグラフの向きは下に凸、
x 軸と x ＝ 1 で交わり かつ
区間 1 ＜ x で交わるから、 ( １区間 )
軸は、区間 1 ＜ x にあり、 1 ＜－b/2 となる
頂点は、x 軸の下にあるから、 b² － 4 c ＞ 0 となる
端点値について考えると、 ｆ (1) ＝ 0 となる
ｆ (1) ＝ b ＋ c ＋ 1 ＝ 0 より、
求める b , c の関係式は、
b ＜－2 かつ c ＜ b²/4 かつ c ＝－b －1
( b ＜－2 かつ c ＝－b －1 でもよい )
である。
３ ) ２つ目が 区間 x ＜ 1 にあるとき、
y ＝ ｆ (x) のグラフの向きは下に凸、
x 軸と 区間 x ＜ 1 , 1 ＜ x で交わるから、 ( ２区間 )
端点値について考えると、 ｆ (1) ＜ 0 となる
ｆ (1) ＝ b ＋ c ＋ 1 ＜ 0 より、
求める b , c の関係式は、
c ＜－b －1
である。
以上より、
答えは、
x 軸の区間 1 ＜ x と ２点で交わるか １点で接するとき、
すなわち
1 ＜ x の範囲で異なる２つの実数解をもつか 重解をもつとき、
b ＜－2 かつ c ≦ b²/4 かつ c ＞－b －1
x 軸の区間 1 ＜ x で交わり かつ x ＝ 1 で交わるとき、
すなわち
1 ＜ x の範囲で１つの解をもち かつ x ＝ 1 を解にもつとき、
b ＜－2 ( かつ c ＜ b²/4 ) かつ c ＝－b －1
x 軸の２区間 x ＜ 1 , 1 ＜ x で交わるとき、
すなわち
x ＜ 1 , 1 ＜ x の範囲でそれぞれ解を１つもつとき、
c ＜－b －1
である。
【 方程式から不等式へ 】
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
１次式 x － 2 の値が 0 のとき、
これを満たす x の値は
x － 2 ＝ 0
⇔ x ＝ 2
より 2 である
x 軸をひいて、軸上に 2 をとると
x 軸が x ＝ 2 により
２区間 [ ＜ ] , [ ＜ ] に分けられる
区間 [ ] では、
１次式 x － 2 は 0 より小さいから、
x － 2 ＜ 0 となる
よって
x ＜ 2 ⇔ x － 2 ＜ 0
区間 [ ] では、
１次式 x － 2 は 0 より大きいから、
x － 2 ＞ 0 となる
よって
x ＞ 2 ⇔ x － 2 ＞ 0
２次式 ( x － 1 ) ( x － 3 ) の値が 0 のとき、
これを満たす x の値は
( x － 1 ) ( x － 3 ) ＝ 0
⇔ x － 1 ＝ 0 [ ] x － 3 ＝ 0
⇔ x ＝ 1 [ ] x ＝ 3
⇔ x ＝ 1 , 3
より 1 と 3 である
x 軸をひいて、軸上に 1 と 3 をとると
x 軸が x ＝ 1 , 3 により
３区間 [ ＜ ] , [ ＜ ＜ ] , [ ＜ ] に分けられる
区間 [ ] では、
１次式 x － 1 は 0 より小さく、
１次式 x － 3 も 0 より小さいから、
２次式 ( x － 1 ) ( x － 3 ) は 0 より大きい
すなわち ( x － 1 ) ( x － 3 ) ＞ 0 となる
区間 [ ] では、
１次式 x － 1 は 0 より[ ] が、
１次式 x － 3 は 0 より[ ] から、
２次式 ( x － 1 ) ( x － 3 ) は 0 より小さい
すなわち ( x － 1 ) ( x － 3 ) ＜ 0 となる
区間 [ ] では、
１次式 x － 1 は 0 より大きく、
１次式 x － 3 も 0 より大きいから、
２次式 ( x － 1 ) ( x － 3 ) は 0 より大きい
すなわち ( x － 1 ) ( x － 3 ) ＞ 0 となる
よって、
区間 1 ＜ x ＜ 3 では、( x － 1 ) ( x － 3 ) ＜ 0 となる
区間 x ＜ 1 [ ] 3 ＜ x では、( x － 1 ) ( x － 3 ) ＞ 0 となる
ゆえに、
( x － 1 ) ( x － 3 ) ＜ 0 ⇔ 1 ＜ x ＜ 3
「 小なり 0 のとき、 小と大の間 」
( x － 1 ) ( x － 3 ) ＞ 0 ⇔ x ＜ 1 , 3 ＜ x
「 大なり 0 のとき、 小より小さいか または 大より大きい 」
次回 ㉜ 方程式から不等式へ につづきます。