㉜ 方程式から不等式へ
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
１次式 x － 2 の値が 0 のとき、
これを満たす x の値は
x － 2 ＝ 0
⇔ x ＝ 2
より 2 である
x 軸をひいて、軸上に 2 をとると
x 軸が x ＝ 2 により
２区間 [ x ＜ 2 ] , [ 2 ＜ x ] に分けられる
区間 [ x ＜ 2 ] では、
１次式 x － 2 は 0 より小さいから、
x － 2 ＜ 0 となる
よって
x ＜ 2 ⇔ x － 2 ＜ 0
区間 [ 2 ＜ x ] では、
１次式 x － 2 は 0 より大きいから、
x － 2 ＞ 0 となる
よって
x ＞ 2 ⇔ x － 2 ＞ 0
x の１次式 m x ＋ n の値を 0 にする x は、必ず存在し かつ 唯一存在する。
だから、
x の値がそれ以外のとき、m x ＋ n は 正 か 負 になる。
２次式 ( x － 1 ) ( x － 3 ) の値が 0 のとき、
これを満たす x の値は
( x － 1 ) ( x － 3 ) ＝ 0
⇔ x － 1 ＝ 0 [または] x － 3 ＝ 0
⇔ x ＝ 1 [または] x ＝ 3
⇔ x ＝ 1 , 3
より 1 と 3 である
x 軸をひいて、軸上に 1 と 3 をとると
x 軸が x ＝ 1 , 3 により
３区間 [ x ＜ 1 ] , [ 1 ＜ x ＜ 3 ] , [ 3 ＜ x ] に分けられる
区間 [ x ＜ 1 ] では、
１次式 x － 1 は 0 より小さく、
１次式 x － 3 も 0 より小さいから、
２次式 ( x － 1 ) ( x － 3 ) は 0 より大きい
すなわち ( x － 1 ) ( x － 3 ) ＞ 0 となる
区間 [ 1 ＜ x ＜ 3 ] では、
１次式 x － 1 は 0 より[大きい] が、
１次式 x － 3 は 0 より[小さい] から、
２次式 ( x － 1 ) ( x － 3 ) は 0 より小さい
すなわち ( x － 1 ) ( x － 3 ) ＜ 0 となる
区間 [ 3 ＜ x ] では、
１次式 x － 1 は 0 より大きく、
１次式 x － 3 も 0 より大きいから、
２次式 ( x － 1 ) ( x － 3 ) は 0 より大きい
すなわち ( x － 1 ) ( x － 3 ) ＞ 0 となる
よって、
区間 1 ＜ x ＜ 3 では、( x － 1 ) ( x － 3 ) ＜ 0 となる
区間 x ＜ 1 [または] 3 ＜ x では、( x － 1 ) ( x － 3 ) ＞ 0 となる
ゆえに、
( x － 1 ) ( x － 3 ) ＜ 0 ⇔ 1 ＜ x ＜ 3
「 小なり 0 のとき、 小と大の間 」
( x － 1 ) ( x － 3 ) ＞ 0 ⇔ x ＜ 1 , 3 ＜ x
「 大なり 0 のとき、 小より小さいか または 大より大きい 」
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
一般化
α ＜ β とする
２次式 ( x － α) ( x － β) の値が 0 のとき、
これを満たす x の値は
( x － α) ( x － β) ＝ 0
⇔ x － α＝ 0 [ ] x － β＝ 0
⇔ x ＝ α [ ] x ＝ β
⇔ x ＝ α , β
より α と β である
x 軸をひいて、軸上に α と β をとると
α ＜ β だから
x 軸が x ＝ α , β により
３区間 [ ] , [ ] , [ ] に分けられる
区間 [ ] では、
α ＜ β だから
x － β ＜ x － α ＜ 0
よって、２次式 ( x － α) ( x － β) は 0 より大きい
すなわち ( x － α) ( x － β) ＞ 0 となる
区間 [ ] では、
[ ] ＜ 0 ＜ [ ]
よって、２次式 ( x － α) ( x － β) は 0 より小さい
すなわち ( x － α) ( x － β) ＜ 0 となる
区間 [ ] では、
α ＜ β だから
0 ＜ x － β ＜ x － α
よって、２次式 ( x － α) ( x － β) は 0 より大きい
すなわち ( x － α) ( x － β) ＞ 0 となる
以上より、
α ＜ βで
区間 α ＜ x ＜ β では、( x － α) ( x － β) ＜ 0 となる
区間 x ＜ α [ ] β ＜ x では、( x － α) ( x － β) ＞ 0 となる
ゆえに、
α ＜ βで
( x － α) ( x － β) ＜ 0 ⇔ α ＜ x ＜ β
「 小なり 0 のとき、 小と大の間 」
( x － α) ( x － β) ＞ 0 ⇔ x ＜ α , β ＜ x
「 大なり 0 のとき、 小より小さいか または 大より大きい 」
次回 ㉝ ２次不等式 につづきます。