㉝ ２次不等式
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
一般化
α ＜ β とする
２次式 ( x － α) ( x － β) の値が 0 のとき、
これを満たす x の値は
( x － α) ( x － β) ＝ 0
⇔ x － α＝ 0 [または] x － β＝ 0
⇔ x ＝ α [または] x ＝ β
⇔ x ＝ α , β
より α と β である
x 軸をひいて、軸上に α と β をとると
α ＜ β だから
x 軸が x ＝ α , β により
３区間 [ x ＜ α] , [ α ＜ x ＜ β] , [ β ＜ x ] に分けられる
区間 [ x ＜ α] では、
α ＜ β だから
x － β ＜ x － α ＜ 0
よって、２次式 ( x － α) ( x － β) は 0 より大きい
すなわち ( x － α) ( x － β) ＞ 0 となる
区間 [ α ＜ x ＜ β] では、
[ x － β] ＜ 0 ＜ [ x － α]
よって、２次式 ( x － α) ( x － β) は 0 より小さい
すなわち ( x － α) ( x － β) ＜ 0 となる
区間 [ β ＜ x ] では、
α ＜ β だから
0 ＜ x － β ＜ x － α
よって、２次式 ( x － α) ( x － β) は 0 より大きい
すなわち ( x － α) ( x － β) ＞ 0 となる
以上より、
α ＜ βで
区間 α ＜ x ＜ β では、( x － α) ( x － β) ＜ 0 となる
区間 x ＜ α [または] β ＜ x では、( x － α) ( x － β) ＞ 0 となる
ゆえに、
α ＜ βで
( x － α) ( x － β) ＜ 0 ⇔ α ＜ x ＜ β
「 小なり 0 のとき、 小と大の間 」
( x － α) ( x － β) ＞ 0 ⇔ x ＜ α , β ＜ x
「 大なり 0 のとき、 小より小さいか または 大より大きい 」
○ 次の不等式を解きなさい。
(１) x ² － x － 12 ＜ 0
(２) x ² ＋ x － 2 ＞ 0
(３) x ² ＋ 2 x ＋ 1 ＞ 0
次回 ㉞ ２次不等式 ２ につづきます。