㉕ より大きく 小さい解 ５
問い (ⅵ)
方程式 a x² － 5 x ＋ 5 ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さいとき、
a の値の範囲を求めよ。
( 解答 １ )
a x² － 5 x ＋ 5 ＝ 0 ・ ・ ・ ① とおく
①の判別式をＤとすると
Ｄ ＝ (－5) ² － 4 ・ a ・ 5
＝ 25 － 20 a
①は異なる２つの実数解をもつから
25 － 20 a ＞ 0
⇔ 25 ＞ 20 a
⇔ 5/4 ＞ a ・ ・ ・ ②
1 より大きく 2 より小さい解をα
3 より大きく 4 より小さい解をβ とすると
1 ＜ α ＜ 2 ・ ・ ・ ③
3 ＜ β ＜ 4 ・ ・ ・ ④
また、解と係数の関係より、
α＋β＝ 5/a ・ ・ ・ ⑤
αβ＝ 5/a ・ ・ ・ ⑥
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③, ④, ⑤, ⑥ より、
αβ座標平面の第１象限で、考える
③と④より、
４点 ( 1 , 4 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) を頂点とする正方形の領域がとれる
( ただし、境界は含まない )
⑤は、傾き －1 , β切片 5/a , α切片 5/a の直線
⑥は、比例定数 5/a の反比例の式であり、双曲線を表す
( ただし、α＞ 0 , β＞ 0 である )
⑤, ⑥ より、5/a を消去して
和 と 積が等しい２数α, βの関係式を考える
αβ＝ α＋β
⇔ αβ－α－β＝ 0
⇔ αβ－α－β＋ 1 ＝ 1
⇔ α( β－ 1 ) － ( β－ 1 ) ＝ 1
⇔ ( α－ 1 )( β－ 1 ) ＝ 1 ・ ・ ・ ⑦
これは、
αβ ＝ 1 をα軸正の方向 1 に β軸正の方向に 1 平行移動したもの
すなわち
漸近線が α＝ 1 , β＝ 1 であり、点( 2 , 2 ) を通る双曲線である
( ただし、α＞ 1 , β＞ 1 である )
⑦は、③,④による領域の点( 3/2 , 3 ) , ( 4/3 , 4 ) を通る
⑤, ⑥は、③,④による領域内の⑦上で交わらなければならない
( ただし、点( 3/2 , 3 ) , ( 4/3 , 4 ) は除く )
⑤と⑦の交点が、原点から遠ければ遠いほど、
5/a の値はどんどん大きくなる
点( 3/2 , 3 ) を通るとき、5/a ＝ 9/2
点( 4/3 , 4 ) を通るとき、5/a ＝ 16/3
9/2 ＜ 5/a ＜ 16/3
9a/2 ＜ 5 ＜ 16a/3 [ a ＞ 0 である ]
15/16 ＜ a ＜ 10/9
これと ②の 5/4 ＞ a より
求める a の値の範囲は、15/16 ＜ a ＜ 10/9 である。
( 解答 ２ )
方程式 a x² － 5 x ＋ 5 ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さい
とは
関数 y ＝ a x² － 5 x ＋ 5 が x 軸と
区間 1 ＜ x ＜ 2 , 3 ＜ x ＜ 4 で交わる
ということである
ｆ (x) ＝ a x² － 5 x ＋ 5 とおく
y ＝ ｆ (x) は、 y 軸 と 点( 0 , 5 ) で交わるから、
x 軸と 区間 1 ＜ x ＜ 2 , 3 ＜ x ＜ 4 で交わるときの
端点値について考えると、
ｆ (1) ＞ 0
ｆ (2) ＜ 0
ｆ (3) ＜ 0
ｆ (4) ＞ 0 となる
よって、
ｆ (1) ＝ a ＞ 0
ｆ (2) ＝ 4 a － 5 ＜ 0
ｆ (3) ＝ 9 a － 10 ＜ 0
ｆ (4) ＝ 16 a － 15 ＞ 0 より、
求める a の値の範囲は、15/16 ＜ a ＜ 10/9 である。
【 端点値を使って解いて行こう 】
「 ２次方程式の解が ・・・より大きい ・・・より小さいとき、・・・ 」
という問題では、
２次関数のグラフの端点値は、とても効果のある道具となります。
グラフが x 軸と どのように交わるかによっては,
端点値のみで解答できる場合もありますから。
なぜなら
向き と x 軸と２区間で交わること がわかるとき、
y 軸との交点の位置 と x 軸と２区間で交わること がわかるとき、
y ＝ a ( x － α) ( x － β) の
a , α, β について大まかな情報が与えられたことになり、
そのときの 放物線 と x 軸の２区間との関係を
端点値を使って うまくすくいとれるからです。
問い Ⅲ
方程式 x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さいとき、
b , c の関係式を求めよ。
次回 ㉖ より大きく 小さい解 ６ につづきます。