㉔ より大きく 小さい解 ４
問い (ⅴ)
方程式 x² ＋ b x ＋ 5 ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さいとき、
b の値の範囲を求めよ。
( 解答 １ )
x² ＋ b x ＋ 5 ＝ 0 ・ ・ ・ ① とおく
①の判別式をＤとすると
Ｄ ＝ b ² － 4・1・5
＝ b ² － 20
①は異なる２つの実数解をもつから
b ² － 20 ＞ 0 ( b の２次不等式 )
⇔ ( b ＋ 2√5 ) ( b － 2√5 ) ＞ 0
⇔ b ＜－2√5 , 2√5 ＜ b ・ ・ ・ ②
1 より大きく 2 より小さい解をα
3 より大きく 4 より小さい解をβ とすると
1 ＜ α ＜ 2 ・ ・ ・ ③
3 ＜ β ＜ 4 ・ ・ ・ ④
また、解と係数の関係より、
α＋β＝ －b ・ ・ ・ ⑤
αβ＝ 5 ・ ・ ・ ⑥
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③, ④, ⑤, ⑥ より、
αβ座標平面の第１象限で、考える
③と④より、
４点 ( 1 , 4 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) を頂点とする正方形の領域がとれる
( ただし、境界は含まない )
⑤は、傾き －1 , β切片 －b , α切片 －b の直線
⑥は、比例定数 5 の反比例の式であり、双曲線を表す( ただし、α＞ 0 . β＞ 0 である )
点 ( √5 , √5 ) , ( 2 , 5/2 ) , ( 1 , 5 ) を通り
領域の２点 ( 5/3 , 3 ) , ( 5/4 , 4 ) を通る
⑥は固定しているが、⑤は移動できるので
⑤を β＝α上の点を中心に、それに沿って
原点の方から右上方へ少しずつ移動させてみると
先ず ⑥ と 点 ( √5 , √5 ) で接する
その後 ⑥の点 ( 5/3 , 3 ) を通る
そして ⑥の点 ( 5/4 , 4 ) を通る
⑤が、 β＝α上の点を中心に、それに沿って
原点( 0 , 0 ) から離れれば離れる程
－b の値はどんどん大きくなる
⑤が、点( 5/3 , 3 ) を通るとき －b ＝ 14/3
点( 5/4 , 4 ) を通るとき －b ＝ 21/4
⑤と⑥は交点をもち、
その交点は③, ④による領域になければならないし、
２点 ( 5/4 , 4 ) , ( 5/3 , 3 ) は除かれるから
14/3 ＜ －b ＜ 21/4
－21/4 ＜ b ＜ －14/3
これと ② の b ＜－2√5 より、 ( √5 は 2,236 ・・・ 富士山麓オウム鳴く )
求める b の値の範囲は、－21/4 ＜ b ＜－14/3 である。
( 解答 ２ )
( 解答 １ ) の赤線まで同じ
⑤, ⑥ より、αを消去して b とβの関係式をつくるのだが、
先ず、βの範囲 ( 区間 ) に注意しなければならないので
③, ⑥ より、αを消去する
1 ＜ α ＜ 2
1 ＜ 5/β ＜ 2 [ β≠ 0 である ]
β＜ 5 ＜ 2β
5/2 ＜ β ＜ 5
これと④より、
3 ＜ β ＜ 4
⑤ より、
b ＝－α－β
＝－β－5/β
＝－(β＋5/β)
δ＝β＋5/β ・・・⑦ とおく
これをβδ座標平面の第１象限で考えると
δ＝β と δ＝ 5/β をたしたものである
よって、⑦は
β＜ √5 では減少し
β＝ √5 で最小値 2√5 をとり
√5 ＜β では増加する ( 必ずグラフを描いて確認を )
ゆえに
区間 3 ＜ β ＜ 4 では増加するから
値域は、14/3 ＜ δ ＜ 21/4
b ＝－δ だから
－21/4 ＜ b ＜ －14/3
これと ② の b ＜－2√5 より、
求める b の値の範囲は、－21/4 ＜ b ＜－14/3 である。
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⑤, ⑥ より、βを消去して b とαの関係式をつくってもよい
④, ⑥ より、βを消去する
3 ＜ β ＜ 4
3 ＜ 5/α ＜ 4 [ α≠ 0 である ]
3α＜ 5 ＜ 4α
5/4 ＜ α ＜ 5/3
これと③より、
5/4 ＜ α ＜ 5/3
⑤ より、
b ＝－α－β
＝－α－5/α
＝－(α＋5/α)
γ＝α＋5/α とおく
これをαγ座標平面の第１象限で考えると
γ＝α と γ＝ 5/α をたしたものである
よって、
α＜ √5 では減少し
α＝ √5 で最小値 2√5 をとり
√5 ＜α では増加する
ゆえに
区間 5/4 ＜ α ＜ 5/3 では減少するから
値域は、14/3 ＜ γ ＜ 21/4
すると －21/4 ＜ b ＜ －14/3 となり
これと ② の b ＜－2√5 より、
求める b の値の範囲は、－21/4 ＜ b ＜－14/3 である。
( 解答 ３ )
方程式 x² ＋ b x ＋ 5 ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さい
とは
関数 y ＝ x² ＋ b x ＋ 5 が x 軸と
区間 1 ＜ x ＜ 2 , 3 ＜ x ＜ 4 で交わる
ということである
ｆ (x) ＝ x² ＋ b x ＋ 5 とおく
y ＝ ｆ (x) のグラフの向きは下に凸だから、
x 軸と 区間 1 ＜ x ＜ 2 , 3 ＜ x ＜ 4 で交わるときの
端点値について考えると、
ｆ (1) ＞ 0
ｆ (2) ＜ 0
ｆ (3) ＜ 0
ｆ (4) ＞ 0 となる
よって、
ｆ (1) ＝ b ＋ 6 ＞ 0
ｆ (2) ＝ 2b ＋ 9 ＜ 0
ｆ (3) ＝ 3b ＋ 14 ＜ 0
ｆ (4) ＝ 4b ＋ 21 ＞ 0 より、
求める b の値の範囲は、－21/4 ＜ b ＜－14/3 である。
問い (ⅵ)
方程式 a x² － 5 x ＋ 5 ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さいとき、
a の値の範囲を求めよ。
次回 ㉕ より大きく 小さい解 ５ につづきます。