㉒ より大きく 小さい解 ２
問い (ⅲ)
x の１次方程式 m x ＋ n ＝ 0 の解が 1 より大きく 2 より小さいとき、
m , n の関係式を求めよ。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
(１つの解答)
m x ＋ n ＝ 0
⇔ m x ＝ －n
⇔ x ＝ [－n / m ] [ ∵ m ≠ 0 ]
これが 1 より大きく 2 より小さいから、
答えは 1 ＜ [－n / m ] ＜ 2 である。
(別の解答)
x の１次方程式 m x ＋ n ＝ 0 の解が 1 より大きく 2 より小さい
とは、
x の１次関数 y ＝ m x ＋ n が [x] 軸 と (開) 区間 [ 1 ＜ x ＜ 2 ] で交わる
ということである。
ｆ (x) ＝ [ m x ＋ n ] とおく
ⅰ) m ＞ 0 のとき、y ＝ ｆ (x) は右[上]りの直線だから、
x 軸 と 区間 [ 1 ＜ x ＜ 2 ] で交わるとき、
[ ｆ (1) ＜ 0 ] かつ [ ｆ (2) ＞ 0 ] である
ⅱ) m ＜ 0 のとき、y ＝ ｆ (x) は右[下]りの直線だから、
x 軸 と 区間 [ 1 ＜ x ＜ 2 ] で交わるとき、
[ ｆ (1) ＞ 0 ] かつ [ ｆ (2) ＜ 0 ] である
ⅰ) , ⅱ) より、
( ｆ (1) ＜ 0 かつ ｆ (2) ＞ 0 ) または ( ｆ (1) ＞ 0 かつ ｆ (2) ＜ 0 )
⇔ ｆ (1) ｆ (2) ＜ 0
ｆ (1) ＝ [ m ＋ n ]
ｆ (2) ＝ [ 2 m ＋ n ] だから、
答えは ( [ m ＋ n ] ) ( [ 2 m ＋ n ] ) ＜ 0 である。
必ず、グラフを描いて確認を！
１. x 軸をひく
２. 区間をとる
３. 直線 ( y ＝ ｆ (x) のグラフ ) を描く
４. 端点値 ( x 軸に対して上か下か ) を確認
上の２つの答えは 見た目 異なるが、
果たして
1 ＜ －n / m ＜ 2 と ( m ＋ n ) ( 2 m ＋ n ) ＜ 0 は 同値なのか ？
考えましょう
Ⅰ)
1 ＜ －n / m ＜ 2
⇔ －2 ＜ [ n / m ] ＜ －1
m ＞ 0 のとき、[－2 m ] ＜ n ＜ [－m ]
m ＜ 0 のとき、[－m ] ＜ n ＜ [－2 m ]
Ⅱ)
( m ＋ n ) ( 2 m ＋ n ) ＜ 0
⇔ ( m ＋ n ＜ 0 [かつ] 2 m ＋ n ＞ 0 ) [または] ( m ＋ n ＞ 0 [かつ] 2 m ＋ n ＜ 0 )
⇔ ( n ＜ －m [かつ] n ＞ －2 m ) [または] ( n ＞ －m [かつ] n ＜ －2 m )
⇔ ( －2 m ＜ n ＜ －m ) [または] ( －m ＜ n ＜ －2 m )
Ⅰ) , Ⅱ) より、
1 ＜ －n / m ＜ 2 と ( m ＋ n ) ( 2 m ＋ n ) ＜ 0 は 同値 である。
問い (ⅳ)
方程式 x² － 5 x ＋ c ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さいとき、
c の値の範囲を求めよ。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
( 解答 １ )
x² － 5 x ＋ c ＝ 0 ・ ・ ・ ① とおく
①の[ ]をＤとすると
Ｄ ＝ (－5) ² － 4・1・c
＝ 25 － 4 c
①は異なる２つの実数解をもつから
25 － 4 c ＞ 0
⇔ 25 ＞ 4 c
⇔ 25/4 ＞ c ・ ・ ・ ②
1 より大きく 2 より小さい解をα ,
3 より大きく 4 より小さい解をβ とすると
1 ＜ α ＜ 2 ・ ・ ・ ③
3 ＜ β ＜ 4 ・ ・ ・ ④
また、[ ]より、
α＋β＝ [ ] ・ ・ ・ ⑤
αβ＝ [ ] ・ ・ ・ ⑥
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③, ④, ⑤, ⑥ より、
αβ座標平面の第１象限で、考える ( ⑤と⑥のグラフを描く )
③と④より、
４点 ( 1 , 4 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) を頂点とする正方形の領域がとれる
( ただし、境界は含まない )
⑤は、傾き [ ] , β切片 [ ] , α切片 [ ] の直線で、
領域の２点 ( [ , ] ) , ( [ , ] ) を通る
⑥は、比例定数 [ ] の反比例の式であり、双曲線を表す
( ただし、α＞ 0 . β＞ 0 である )
⑤は固定しているが、⑥は移動できるので
⑥を β＝α上の点を中心に、それに沿って
右上方から原点の方へ少しずつ移動させてみると
先ず ⑤ と 点( [ , ] ) で接する
その後 領域にある⑤の点( [ , ] ) を通る
そして 領域にある⑤の点( [ , ] ) を通る
⑥が、原点( 0 , 0 ) に近づけば近づく程
c の値はどんどん[ ]
⑥が、点( 2 , 3 ) を通るとき c ＝ 6
点( 1 , 4 ) を通るとき c ＝ 4
⑤と⑥は交点をもち、
その交点は③, ④による領域になければならないし、
２点 ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) は除かれるから
4 ＜ c ＜ 6
これと ②の 25/4 ＞ c より、
求める c の値の範囲は、4 ＜ c ＜ 6 である。
( 解答 ２ )
( 解答 １ ) の赤線まで同じ
⑤, ⑥ より、αを消去して c とβの関係式をつくる
先ず、βの範囲 (区間) に注意しなければならないので
③, ⑤ より、αを消去する
⑤ より、α＝ 5 －β だから、
1 ＜ α ＜ 2
1 ＜ 5－β ＜ 2
－4 ＜ －β ＜ －3
3 ＜ β ＜ 4 これは④と同じ
⑥ より、
c ＝αβ
＝ β( 5－β)
＝ －β² ＋ 5β ( c はβの２次関数 )
＝ －(β² － 5β)
＝ －(β² － 5β＋ [ ] － [ ] )
＝ (β－[ ]) ² ＋ [ ]
区間は 3 ＜ β ＜ 4 だから、
値域は [ ]
これと ②の 25/4 ＞ c より、
求める c の値の範囲は、4 ＜ c ＜ 6 である。
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⑤, ⑥ より、βを消去して c とαの関係式をつくってもよい
④, ⑤ より、βを消去すると
1 ＜ α ＜ 2 になる これは③と同じ
⑥ より、
c ＝αβ
＝ －α² ＋ 5α
＝ (α－5/2) ² ＋ 25/4
区間は 1 ＜ α ＜ 2 だから、
値域は 4 ＜ c ＜ 6
これと ②の 25/4 ＞ c より、
求める c の値の範囲は、4 ＜ c ＜ 6 である。
( 解答 ３ )
方程式 x² － 5 x ＋ c ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さい
とは
関数 y ＝ x² － 5 x ＋ c が x 軸と
区間 [ ] , [ ] で交わる
ということである
ｆ (x) ＝ [ ] とおく
y ＝ ｆ (x) のグラフの向きは下に凸だから、
x 軸と 区間 [ ] , [ ] で交わるときの
[ ]について考えると、
ｆ (1) [ ] 0
ｆ (2) [ ] 0
ｆ (3) [ ] 0
ｆ (4) [ ] 0 となる
よって、
ｆ (1) ＝ c － 4 [ ] 0
ｆ (2) ＝ c － 6 [ ] 0
ｆ (3) ＝ c － 6 [ ] 0
ｆ (4) ＝ c － 4 [ ] 0 より、
求める c の値の範囲は、4 ＜ c ＜ 6 である。
次回 ㉓ より大きく 小さい解 ３ につづきます。