㉑ より大きく 小さい解
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ x² ＋ 2 x ＋ 1 ( a ≦ x ≦ a ＋ 2 ) のとき、
この最大値・最小値を求めなさい。
ｆ (x) ＝ [ x² ＋ 2 x ＋ 1 ] とおく。
ｆ (x) ＝ ( x ＋ 1 ) ²
向き 1 ＞ 0 より、下に凸
軸 x ＝－ 1
頂点 ( － 1 , 0 )
グラフは固定しているが、定義域すなわち区間は移動する。
よって、区間を 軸の左側から右側へ移動させ、場合分けしていく。
( 逆転の発想で、区間を固定し 軸 (頂点) を 右側から左側へ移動させてもよい )
ⅰ) [ a ＋ 2 ] ≦ －1 すなわち a ≦ －3 のとき、
区間内でグラフは、常に [減少] するから
値域は、[ ｆ ( a＋2 ) ] ≦ y ≦ [ ｆ ( a ) ]
ⅱ) [ a ＋ 1 ] ≦ －1 ≦ a ＋ 2 すなわち －3 ≦ a ≦ －2 のとき、
軸 (頂点) は、区間内で中点の右側にあるから、
グラフの向きと対称性を考えると、
値域は、[ ｆ ( －1 ) ] ≦ y ≦ [ ｆ ( a ) ]
ⅲ) [ a ＋ 1 ] ＝ －1 すなわち a ＝ －2 のとき、
グラフの向きと対称性を考えると、
値域は、[ ｆ ( －1 ) ] ≦ y ≦ ｆ ( a ) ＝ ｆ ( a＋2 )
ⅳ) [ a ] ≦ －1 ≦ [ a ＋ 1 ] すなわち －2 ≦ a ≦ －1 のとき、
軸 (頂点) は、区間内で中点の左側にあるから、
グラフの向きと対称性を考えると、
値域は、[ ｆ ( －1 ) ] ≦ y ≦ [ ｆ ( a＋2 ) ]
ⅴ) －1 ≦ a のとき、
区間内でグラフは、常に [ 増加 ] するから
値域は、[ ｆ ( a ) ] ≦ y ≦ [ ｆ ( a＋2 ) ]
ｆ ( －1 ) ＝ [ 0 ]
ｆ ( a ) ＝ [ a² ＋ 2 a ＋ 1 ]
ｆ ( a＋2 ) ＝ ( a＋2 ) ² ＋ 2 ( a＋2 ) ＋ 1
＝ [ a² ＋ 6 a ＋ 9 ] なので
ⅰ) から ⅴ) より、
答えは、
a ≦ －3 のとき、最大値 [ a² ＋ 2 a ＋ 1 ]
最小値 [ a² ＋ 6 a ＋ 9 ]
－3 ≦ a ≦ －2 のとき、最大値 [ a² ＋ 2 a ＋ 1 ]
最小値 0
－2 ≦ a ≦ －1 のとき、最大値 [ a² ＋ 6 a ＋ 9 ]
最小値 0
－1 ≦ a のとき、最大値 [ a² ＋ 6 a ＋ 9 ]
最小値 [ a² ＋ 2 a ＋ 1 ]
である。
[ 閉区間 ] があれば、最大値と最小値は必ず存在し、
[ 区間内 ]での２次関数のグラフの状態により、
２つの[ 端点値 ]、[ 頂点 ]の y 座標の いずれかが、最大値と最小値になる。
【 より大きく、より小さい解 】
問い (ⅲ)
x の１次方程式 m x ＋ n ＝ 0 の解が 1 より大きく 2 より小さいとき、
m , n の関係式を求めよ。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
(１つの解答)
m x ＋ n ＝ 0
⇔ m x ＝ －n
⇔ x ＝ [ ] [ ∵ m ≠ 0 ]
これが 1 より大きく 2 より小さいから、
答えは 1 ＜ [ ] ＜ 2 である。
(別の解答)
x の１次方程式 m x ＋ n ＝ 0 の解が 1 より大きく 2 より小さい
とは、
x の１次関数 y ＝ m x ＋ n が [ ] 軸 と (開) 区間 [ ] で交わる
ということである。
ｆ (x) ＝ [ ] とおく
ⅰ) m ＞ 0 のとき、y ＝ ｆ (x) は右[ ]りの直線だから、
x 軸 と 区間 [ ] で交わるとき、
[ ] かつ [ ] である
ⅱ) m ＜ 0 のとき、y ＝ ｆ (x) は右[ ]りの直線だから、
x 軸 と 区間 [ ] で交わるとき、
[ ] かつ [ ] である
ⅰ) , ⅱ) より、
( ｆ (1) ＜ 0 かつ ｆ (2) ＞ 0 ) または ( ｆ (1) ＞ 0 かつ ｆ (2) ＜ 0 )
⇔ ｆ (1) ｆ (2) ＜ 0
ｆ (1) ＝ [ ]
ｆ (2) ＝ [ ] だから、
答えは ( [ ] ) ( [ ] ) ＜ 0 である。
上の２つの答えは 見た目 異なるが、
果たして
1 ＜ －n / m ＜ 2 と ( m ＋ n ) ( 2 m ＋ n ) ＜ 0 は 同値なのか ？
考えましょう
Ⅰ)
1 ＜ －n / m ＜ 2
⇔ －2 ＜ [ ] ＜ －1
m ＞ 0 のとき、[ ] ＜ n ＜ [ ]
m ＜ 0 のとき、[ ] ＜ n ＜ [ ]
Ⅱ)
( m ＋ n ) ( 2 m ＋ n ) ＜ 0
⇔ ( m ＋ n ＜ 0 [ ] 2 m ＋ n ＞ 0 ) [ ] ( m ＋ n ＞ 0 [ ] 2 m ＋ n ＜ 0 )
⇔ ( n ＜ －m [ ] n ＞ －2 m ) [ ] ( n ＞ －m [ ] n ＜ －2 m )
⇔ ( －2 m ＜ n ＜ －m ) [ ] ( －m ＜ n ＜ －2 m )
Ⅰ) , Ⅱ) より、
1 ＜ －n / m ＜ 2 と ( m ＋ n ) ( 2 m ＋ n ) ＜ 0 は 同値 である。
次回 ㉒ より大きく 小さい解 ２ につづきます。