⑰ 値域 ( y のとる値の範囲 )
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ 2 x² ＋ 4 x ＋ 6 ( －2 ≦ x ≦ 1 ) の最大値・最小値を求める。
y ＝ 2 ( x² ＋ 2 x ) ＋ 6
y ＝ 2 ( x² ＋ 2 x ＋ [ 1 ] － [ 1 ] ) ＋ 6
y ＝ 2 ( x ＋ 1 ) ² － [ 2 ] ＋ 6
y ＝ 2 ( x ＋ 1 ) ² ＋ [ 4 ]
向き 2 [＞] 0 より、[下に] 凸 [谷]型
軸 [ x ＝－1 ]
頂点 ( [ －1 , 4 ] )
定義域 が －2 ≦ x ≦ 1 であるので、軸 ( 頂点 ) はこの区間に存在[する]。
x ＝－2 のとき、y ＝ [ 6 ]
x ＝－1 のとき、y ＝ [ 4 ]
x ＝ 1 のとき、y ＝ [ 12 ]
よって、値域は、[4] ≦ y ≦ [12] である。
ゆえに
最大値は、[12] ( x ＝ [ 1 ] のとき)。
最小値は、[ 4 ] ( x ＝[－1] のとき)。
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ －2 x² ＋ 4 x ＋ 6 ( －2 ≦ x ≦ 0 ) の最大値・最小値を求める。
y ＝ －2 ( x² － 2 x ) ＋ 6
y ＝ －2 ( x² － 2 x ＋ 1 － 1 ) ＋ 6
y ＝ －2 ( x － 1 ) ² ＋ 2 ＋ 6
y ＝ －2 ( x － 1 ) ² ＋ 8
向き －2 [＜] 0 より、[上に]凸 [山]型
軸 [ x ＝ 1 ]
頂点 ( [ 1 , 8 ] )
定義域 が －2 ≦ x ≦ 0 であるので、軸 ( 頂点 ) はこの区間に存在[しない]。
だから、向きと軸の位置を考えると 区間内でグラフは、常に[増加]する。
x ＝－2 のとき、y ＝[－10]
x ＝ 0 のとき、y ＝ [ 6 ]
よって、値域は、[－10] ≦ y ≦ [ 6 ] である。
ゆえに
最大値は [ 6 ] ( x ＝ [ 0 ] のとき)。
最小値は、[－10] ( x ＝[－2] のとき)。
必ず、グラフを描いて確認を！
１. ２本の濃い直線を縦にひき 区間をとる。
２. 軸 として３本目は、薄い直線を縦にひく。
３. 頂点をとり 向きに注意して 放物線を描く。
４. 区間内のグラフの状態を確認。
【 記号 ｆ (x) を使えるように 】
２次関数 y ＝ a x² ＋ b x ＋ c の定義域が p ≦ x ≦ q のとき、
ｆ (x) ＝ a x² ＋ b x ＋ c とおくと
(閉) 区間 p ≦ x ≦ q の
端点 p の 端点値 は ｆ (p) 、
端点 q の 端点値 は ｆ (q) と書ける。
つまり、y ＝ ｆ (x) のグラフ上の点 ( p , ｆ (p) ) , ( q , ｆ (q) ) と書ける。
いちいち
少し煩雑に見える
点 ( p , a p² ＋ b p ＋ c ) , ( q , a q² ＋ b q ＋ c ) と書かなくてもよい。
しかし、必要に応じて 使い分けること。
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝－2 x² ＋ 8 x － 6 の定義域が 0 ≦ x ≦ 3 のとき、
ｆ (x) ＝[ ] とおくと
(閉) 区間 0 ≦ x ≦ 3 の
端点 0 の 端点値 は[ ]
端点 3 の 端点値 は[ ] と書ける。
つまり、y ＝ ｆ (x) のグラフ上の点 ( 0 , [ ] ) , ( 3 , [ ] ) と書ける。
いちいち
計算して
点 ( 0 , [ ] ) , ( 3 , [ ] ) と書かなくてもよい。
しかし、必要に応じて 計算すること。
ｆ (x) ＝[ ] を完全平方式を使って変形すると
ｆ (x) ＝[ ]
向き [ ] 凸
軸 [ ]
頂点 ( [ , ] )
区間 0 ≦ x ≦ 3 より、
端点および端点値 ( 0 , ｆ (0) ) , ( 3 , ｆ (3) )
また
軸 (頂点)は、区間内にあり、区間の中点より[ ] 側にある。
よって、グラフの向き と 対称性を考えると 値域は [ ] ≦ y ≦ [ ] である。
ゆえに
最大値は、2 ( x ＝[ ] のとき ) であり、
最小値は、ｆ (0) すなわち [ ] ( x ＝[ ] のとき ) である。
次回 ⑱ 記号 ｆ (x) エフエックス につづきます。