⑯ 定義域 ( x の変域 )
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
２次関数 y ＝ a x² ＋ b x ＋ c の最大値・最小値を求める。
y ＝ a { x² ＋ (b/a) x } ＋ c
y ＝ a { x² ＋ (b/a) x ＋[ (b/2a)² ]－[ (b/2a)² ] } ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² －[ (b²－4ac)/4a ]
ⅰ) a ＞ 0 のとき、
向き [下に] 凸 [谷]型
軸 [ x ＝ －b/2a ]
頂点 ( [ －b/2a , － (b²－4ac)/4a ] )
[定義域] がなく、向きは[下に] 凸 だから、y [≧] － (b²－4ac)/4a である。
よって、
最大値は、グラフが y 軸[正]の方向に無限なので、なし。
最小値は、頂点の y 座標で、 － (b²－4ac)/4a である。
ⅱ) a ＜ 0 のとき、
向き [上に] 凸 [山]型
軸 x ＝ －b/2a
頂点 ( －b/2a , － (b²－4ac)/4a )
定義域が[なく] 、向きは上に凸 だから、y [≦] － (b²－4ac)/4a である。
よって、
最大値は、頂点の y 座標で、 － (b²－4ac)/4a である。
最小値は、グラフが y 軸[負]の方向に[無限] なので、なし。
【 閉区間である 定義域 があると、最大値と最小値はともに存在する。】
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ 2 x² ＋ 4 x ＋ 6 ( －2 ≦ x ≦ 1 ) の最大値・最小値を求める。
y ＝ 2 ( x² ＋ 2 x ) ＋ 6
y ＝ 2 ( x² ＋ 2 x ＋ [ ] － [ ] ) ＋ 6
y ＝ 2 ( x ＋ 1 ) ² － [ ] ＋ 6
y ＝ 2 ( x ＋ 1 ) ² ＋ [ ]
向き 2 [ ] 0 より、[ ] 凸 [ ]型
軸 [ x ＝ ]
頂点 ( [ , ] )
定義域 が －2 ≦ x ≦ 1 であるので、軸 ( 頂点 ) はこの区間に存在[ ]。
x ＝－2 のとき、y ＝ [ ]
x ＝－1 のとき、y ＝ [ ]
x ＝ 1 のとき、y ＝ [ ]
よって、値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ] である。
ゆえに
最大値は、[ ] ( x ＝ [ ] のとき)。
最小値は、[ ] ( x ＝ [ ] のとき)。
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ －2 x² ＋ 4 x ＋ 6 ( －2 ≦ x ≦ 0 ) の最大値・最小値を求める。
y ＝ －2 ( x² － 2 x ) ＋ 6
y ＝ －2 ( x² － 2 x ＋ 1 － 1 ) ＋ 6
y ＝ －2 ( x － 1 ) ² ＋ 2 ＋ 6
y ＝ －2 ( x － 1 ) ² ＋ 8
向き －2 [ ] 0 より、[ ] 凸 [ ]型
軸 [ ]
頂点 ( [ , ] )
定義域 が －2 ≦ x ≦ 0 であるので、軸 ( 頂点 ) はこの区間に存在[ ]。
だから、向き と 軸の位置を考えると 区間内でグラフは、常に[ ]する。
x ＝－2 のとき、y ＝[ ]
x ＝ 0 のとき、y ＝ [ ]
よって、値域は、[ ] ≦ y ≦ [ ] である。
ゆえに
最大値は [ ] ( x ＝ [ ] のとき)。
最小値は、 [ ] ( x ＝ [ ] のとき)。
次回 ⑰ 値域 ( y のとる値の範囲 ) につづきます。