⑤ 向きは どちらに凸か
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
y ＝ a { x ² ＋ (b/a) x } ＋ c
y ＝ a { x ² ＋ (b/a) x ＋ (b/2a)² － (b/2a)² } ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － b²/4a ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － ( [b ²－4ac] )/4a ( ただし、a [≠] 0 ）
２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c について
グラフの向きは
[ a ＞ 0 ] のとき、[下に] 凸 (谷型)
[ a ＜ 0 ] のとき、[上に] 凸 (山型)
軸は
x ＝ [ － b/2a ]
頂点
( － b/2a , － ([ b ²－ 4ac] )/4a )
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ － x ² ＋ x ＋ 2
y ＝ － ( x ² － x ) ＋ 2
y ＝ － ( x ² － x [＋ 1/4 － 1/4 ] ) ＋ 2
y ＝ － ( [ x － 1/2 ] ) ² ＋ 1/4 ＋ 2
y ＝ － ( [ x － 1/2 ] ) ² ＋ 9/4
２次関数 y ＝ － x ² ＋ x ＋ 2 について
グラフの向きは
[－ 1] ＜ 0 だから、[上に] 凸 ([山] 型)
軸は
x ＝ [ 1/2 ]
頂点
( [ 1/2 , 9/4 ] )
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ x ² ＋ 3 x ＋ 2
y ＝ x ² ＋ 3 x [＋ 9/4 － 9/4 ] ＋ 2
y ＝ ( [ x ＋ 3/2 ] ) ² － 1/4
２次関数 y ＝ x ² ＋ 3 x ＋ 2 について
グラフの向きは
[ 1 ＞ 0 ] だから、[下に凸] ([谷型])
軸は
x ＝ [ － 3/2 ]
頂点
( [－3/2 , －1/4 ] )
( x 軸 , y 軸 をひき、原点をとり、グラフを描いて確認を。)
【 x 軸との関係 】
y ＝ a x ² ( a ≠ 0 ) について
向きは
a ＞ 0 のとき、下に凸 (谷型)
a ＜ 0 のとき、上に凸 (山型)
軸
x ＝ 0
頂点
( 0 , 0 )
y ＝ a x ² と x 軸 ( y ＝ 0 ) との関係
y ＝ a x ²
と
y ＝ 0 より、
y を消去して 方程式 a x ² ＝ 0 を解く。
a x ² ＝ 0
⇔ x ² ＝ 0 [ ∵ a ≠ 0 ]
⇔ x ＝ 0
２次方程式 a x ² ＝ 0 の解は x ＝ 0 (重解) である。
ゆえに、
y ＝ a x ² は x 軸 と 点( 0 , 0 ) で接する。
( x 軸 , y 軸 をひき、原点をとり、グラフを描いて確認を。)
流れ
１文字 y を消去 → x の２次方程式 → 交点の x 座標 ( なし。 １つある。 ２つある。)
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( a ≠ 0 ) について
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
は
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － ( [ ] ) / 4a
と変形できる。
向き a ＞ 0 のとき、下に凸 (谷型)
a ＜ 0 のとき、上に凸 (山型)
軸
x ＝ －b/2a
頂点
( －b/2a , －( [ } )/4a )
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c と x 軸 ( y ＝ 0 ) との関係
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
と
y ＝ 0 より、
y を消去して 方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) を解く。
a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0
⇔ a x ² ＋ b x ＝ － c
⇔ x ² ＋ (b/a) x ＝ － c/a [ ∵ a ≠ 0 ]
⇔ x ² ＋ (b/a) x ＋ (b/2a) ² ＝ － c/a ＋ (b/2a) ²
⇔ ( x ＋ b/2a ) ² ＝ ( [ ] ) / 4a ²
⇔ x ＋ b/2a ＝ ±√( [ ] ) / 2a
⇔ x ＝ － b/2a ± √( [ ] ) / 2a
⇔ x ＝ { － b ± √( [ ] ) } / 2a ・ ・ ・ ・ ・ ①
よって、
もし y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c が x 軸 ( y ＝ 0 ) と交点をもつなら、
その座標は ( { － b ± √( [ ] ) } / 2a , 0 ) である。
(Ⅰ) a ＞ 0 のとき、グラフの向きは下に凸 谷型である。
このときの 頂点 と x 軸 ( y ＝ 0 ) との位置を考え、放物線 と x 軸の交点を考える。
ⅰ) 頂点が x 軸の上方にあるとき、( 頂点の y 座標は [ ] より大きい。) x 軸との交点はなし。
－(b ² － 4ac )/4a ＞ [ ]
a ＞ 0 だから、
－(b ² － 4ac ) ＞ 0
ゆえに、
b ² － 4ac ＜ 0
このとき、
① より x は虚数となり、x 座標は求められないので、確かに交点は存在しない。
ⅱ) 頂点が x 軸上にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 に [ ]。) x 軸との交点は１つ。
－(b ² － 4ac )/4a [ ] 0
－(b ² － 4ac ) [ ] 0
ゆえに、
b ² － 4ac [ ] 0
このとき、
① より x は重解となり、x 座標は１つだけ求められるので、確かに交点は１つである。
ⅲ) 頂点が x 軸の下方にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 より小さい。) x 軸との交点は２つ。
－(b ² － 4ac )/4a ＜ 0
a ＞ 0 だから、
－(b ² － 4ac ) ＜ 0
ゆえに、
b ² － 4ac ＞ 0
このとき、
① より x は異なる２つの[ ] となり、x 座標は２つ求められるので、
確かに交点は２つ存在する。
(Ⅱ) a ＜ 0 のとき、グラフの向きは上に凸 山型である。
このときの 頂点 と x 軸 ( y ＝ 0 ) との位置を考え、放物線 と x 軸の交点を考える。
ⅳ) 頂点が x 軸の下方にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 より [ ]。) x 軸との交点はなし。
－(b ² － 4ac )/4a [ ] 0
a [ ] 0 だから、
－(b ² － 4ac ) [ ] 0
ゆえに、
b ² － 4ac [ ] 0
このとき、
① より x は [ ] となり、x 座標は求められないので、確かに交点は存在しない。
ⅴ) 頂点が x 軸上にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 に [ ]。) x 軸との交点は１つ。
－(b ² － 4ac )/4a [ ] 0
－(b ² － 4ac ) [ ] 0
ゆえに、
b ² － 4ac [ ] 0
このとき、
① より x は重解となり、x 座標は１つだけ求められるので、確かに交点は１つである。
ⅵ) 頂点が x 軸の上方にあるとき、( 頂点の y 座標は 0 より大きい。) x 軸との交点は２つ。
－(b ² － 4ac )/4a [ ] 0
a ＜ 0 だから、
－(b ² － 4ac ) [ ] 0
ゆえに、
b ² － 4ac [ ] 0
このとき、
① より x は異なる２つの実数となり、x 座標は２つ求められるので、
確かに交点は２つ存在する。
( 以上６つの状態を x 軸 をひき、グラフを描いて確認を。)
次回 ⑥ x 軸との交点は？ につづきます。