④ 頂点の座標
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ － 2 x² ＋ 8 x － 6 の x の２次式を 完全平方式に変形し、
２次の係数 と 頂点の座標を求める。
y ＝ － 2 x² ＋ 8 x － 6
２次と１次の[２]項式を [２]次の[係数] － 2 でくくる
y ＝ － 2 ( x² － 4 x ) － 6
x の[係数]の[半分]の[２乗]をたしてひく
y ＝ － 2 ( x² － 4 x ＋ 4 － 4 ) － 6
２乗, 積の２倍, ２乗の[３]項式を [２]項式の[２]乗に
y ＝ － 2 ( x － 2 ) ² ＋ [ 8 ] － 6
y ＝ － 2 ( x － 2 ) ² ＋ [ 2 ]
よって、２次の係数は [－2 ] で、
頂点の座標は ( [ 2 , 2 ] ) である。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ － (1/2) x² － x ＋ 3/2 の x の２次式を 完全平方式に変形し、
２次の係数 と 頂点の座標を求める。
y ＝ － (1/2) x² － x ＋ 3/2
[－ (1/2)]でくくる
y ＝ － (1/2) { x² ＋ 2 x } ＋ 3/2
[＋2] の半分の２乗をたしてひく
y ＝ － (1/2) { x² ＋ 2 x ＋ 1 － 1 } ＋ 3/2
[乗法]公式を使って完全平方式に
y ＝ － (1/2) { x ＋ 1 } ² ＋ [1/2] ＋ 3/2
y ＝ － (1/2) { x ＋ 1 } ² ＋ [ 2 ]
よって、２次の係数は [－(1/2)] で、
頂点の座標は ( [ － 1 , 2 ] ) である。
○ y ＝ 2 x² ＋ 3 x － 7/8 の x の２次式を 完全平方式に変形し、
２次の係数 と 頂点の座標を求めなさい。
y ＝ 2 x² ＋ 3 x － 7/8
y ＝ 2 ( x² ＋3/2 x ) － 7/8
y ＝ 2 ( x² ＋ 3/2 x ＋ 9/16 － 9/16 ) － 7/8
y ＝ 2 ( x ＋ 3/4 ) ² － 9/8 － 7/8
y ＝ 2 ( x ＋ 3/4 ) ² － 2
よって、２次の係数は 2 で、
頂点の座標は ( －3/4 , －2 ) である。
( x 軸 , y 軸 をひき、原点をとり、グラフを描いて確認を。)
【 グラフを描くために 向き ・軸 ・頂点を 】
y ＝ a x ²
y ＝ a ( x － 0 ) ² ＋ 0
２次関数 y ＝ a x ² について
グラフの向きは
a ＞ 0 のとき、下に凸 (谷型)
a ＜ 0 のとき、上に凸 (山型)
軸は
x ＝ 0 ( これは、y 軸 )
頂点は
( 0 , 0 )
２次関数の放物線のグラフは、軸 (頂点の x 座標) について対称 (線対称) である。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
y ＝ a { x ² ＋ (b/a) x } ＋ c
y ＝ a { x ² ＋ (b/a) x ＋ (b/2a)² － (b/2a)² } ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － b²/4a ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － ( [ ] )/4a ( ただし、a [ ] 0 ）
２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c について
グラフの向きは
[ ] のとき、[ ] 凸 (谷型)
[ ] のとき、[ ] 凸 (山型)
軸は
x ＝ [ ]
頂点は
( － b/2a , － ([ ] )/4a )
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ － x ² ＋ x ＋ 2
y ＝ － ( x ² － x ) ＋ 2
y ＝ － ( x ² － x [ ] ) ＋ 2
y ＝ － ( [ ] ) ² ＋ 1/4 ＋ 2
y ＝ － ( [ ] ) ² ＋ 9/4
２次関数 y ＝ － x ² ＋ x ＋ 2 について
グラフの向きは
[ ] ＜ 0 だから、[ ] 凸 ([ ] 型)
軸は
x ＝ [ ]
頂点は
( [ , ] )
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ x ² ＋ 3 x ＋ 2
y ＝ x ² ＋ 3 x [ ] ＋ 2
y ＝ ( [ ] ) ² － 1/4
２次関数 y ＝ x ² ＋ 3 x ＋ 2 について
グラフの向きは
[ ] だから、[ ] ([ ])
軸は
x ＝ [ ]
頂点は
( [ , ] )
( x 軸 , y 軸 をひき、原点をとり、グラフを描いて確認を。)
【 これも覚えて代入するのか 】
中３で
２次方程式の解の公式
a x² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) のとき、
x ＝ { －b ±√( b² － 4ac ) } / 2a
を導かずに覚えた。
そのような人(生徒)の中には、
高１で
次の２次関数の式
y ＝ a x² ＋ b x ＋ c ＝ a ( x ＋ b/2a )² － ( b² － 4ac ) / 4a
も導かずに覚える人(生徒)がいます。
こうして公式を覚えて、数学が (物理や化学も) できなくなる人(生徒)が生まれます。
上の２つはどちらも 完全平方式をつくることが、式変形の本質である。
・ 完全平方式により、平方根を利用して２次方程式の解が求められる。
あるいは ２次関数のグラフの頂点の座標が求められる。
・ 完全平方式をつくるために、
乗法公式 ( a² ± 2 a b ＋ b² ＝ ( a ± b )² ： ２乗、積の２倍、２乗は ２項式の２乗 ) が使われる。
・ ２乗、積の２倍、２乗 の ３項式 をつくるために、
x の係数の半分の２乗を 両辺にたす。あるいは たしてひく。
かつ、x² の係数を 1 にする。
ここで、(式変形)できるようになるには本質をつかむ洞察力が必要であること を知る。
導かずに覚えることにより、１つの機会(チャンス) を失う。
このチャンスを失うことによるダメージは、大きい。
公式を見ても、その意味や表す状況を理解しなくなり、できなくなる。
解の公式 と ２次関数の式の細部の区別ができなくなる。
導く計算力がないため、代入ミスをしたり、公式に数を代入しても計算できなかったり、計算ミスをする。
文字式の計算力は、相当低くなる。
これから学ぶ公式はとても多いので、もう覚えることはできないかも。( 三角比 ・三角関数で 約 50 個 )
やがて、高校数学ができなくなる。
私の知っている 公式を導かず覚える人(生徒) の中には、次のような人がいる。
定期テストで高得点をとった成功体験にもとづき、
大学入試センター試験の一週間前から徹夜 ( 一夜漬け×７日 ) をはじめる。
「 ここ２日ほど寝ていないので、しんどいです。」
‘ 徹夜はやめて、睡眠時間は必ずとらないと、
センター当日に持っている実力を発揮できないどころか、体調を崩し 元も子もないよ。’
定期テストは範囲が狭いため、一夜漬けなどの短期学習で高得点をとる。
よって、定期テストにもとづく評定は、「４」 や 「５」 をとる。
しかし、
大学入試センター試験の数学で 「３割」 ぐらいしかとれない。
数週間 ・数か月にわたる学習経験がないと、入試には対応できない。
入試で ある程度要求される知識体系は、中長期学習を必要とする。
公式を導くという行為は、中長期学習すること である。
中３の 「 解の公式 」 を導き、高１の 「 ２次関数の完全平方式 」 を導く。
これは、大学受験数学への１歩です。
大学入試問題には、ときどき公式を導く過程を問う問題も出る。
公式を導くことは、入試対策でもある。
次回 ⑤ 向きは どちらに凸か につづきます。