『 解の公式は導くもの ６ 』
○ （ 補講 『 解の公式は導くもの ５ 』 の宿題 ）とその解答
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解をα, β とするとき、
α＋β と αβ の値を求めよ。
(解答)
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解は
x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a だから
その２つの解をα, β とすると、
α＋β＝ { －b －√(b²－4ac) } / 2a ＋ { －b ＋√(b²－4ac) } / 2a
＝－2b / 2a
＝－b / a
αβ＝ { －b －√(b²－4ac) } / 2a × { －b ＋√(b²－4ac) } / 2a
＝ [ (－b)² －{ √(b²－4ac) }² ] / 4a² (和と差の積は２乗の差)
＝ { b² － (b²－4ac) } / 4a²
＝ 4ac / 4a²
＝ c / a
以上より、
(答え)
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解をα, β とするとき、
α＋β＝－b / a , αβ＝ c / a
解の公式の当たり前過ぎる意味
「 ２次方程式の解は、係数と定数(項) から成る。」を認識していたら、
解と係数の関係
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解をα, β とするとき、
α＋β＝－b / a
αβ＝ c / a
は理解しやすいでしょう。
そして解の公式が導けたら、解と係数の関係 ( 解の和と積の値 ) も十分導けるでしょう。
◎ ２次方程式の問題
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解をα, β とするとき、
(１) α²＋β² の値を求めよ。 (中３の問題)
(２) α³＋β³ の値を求めよ。 (高１の問題)
(３) (α－β)² の値を求めよ。 (中３の問題)
(４) α⁴＋β⁴ の値を求めよ。 (高１の問題)
解答は下の方にあります。
○ （ 補講 『 解の公式は導くもの ６ 』 の宿題 ）
全問正解するために、復習が必要ならば、
補講 『 平方根のある問題から学ぶこと １～９ 』 を活用してください。
次の( ① ) ～ ( ⑨ ) に入る適切なものを、下の(ア) ～ (キ) から選びなさい。
( ① ) は、ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] が実数解をもつための必要十分条件である。
( ② ) は、ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] が虚数解をもつための必要十分条件である。
( ③ ) は、ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] が重解をもつための必要条件である。
b²－4ac＝0 は、ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] が重解をもつための ( ④ ) 条件である。
b²－4ac＞0 は、ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] が実数解をもつための ( ⑤ ) 条件である。
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解が虚数解であることは、
b²－4ac＜0 であるための ( ⑥ ) 条件である。
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解が実数解であることは、
b²－4ac＞0 であるための ( ⑦ ) 条件である。
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解が重解であることは、
b²－4ac≧0 であるための ( ⑧ ) 条件である。
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解が実数解であることは、
b²－4ac＝0 であるための ( ⑨ ) 条件である。
(ア) b²－4ac＝0 (イ) b²－4ac＞0 (ウ) b²－4ac＜0 (エ) b²－4ac≧0
(オ) 十分 (カ) 必要 (キ) 必要十分
解答は、補講 『 解の公式は導くもの ７ 』に掲載します。
◎ 「２次方程式の問題」の解答
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 ] の解はα, β だから、
解と係数の関係により、
α＋β＝－b / a
αβ＝c / a である。
(１) α²＋β² の値を求めよ。(中３の問題)
α²＋β²＝(α＋β)²－2αβ { ∵ (α＋β)² ＝ α²＋ 2αβ＋β² より }
＝b² / a² － 2c / a { ∵ 解と係数の関係 より }
＝ (b²－2ac) / a²
(２) α³＋β³ の値を求めよ。(高１の問題)
α³＋β³＝(α＋β)³－3αβ(α＋β) { ∵ (α＋β)³ ＝ α³＋3α²β＋3αβ²＋β³ より }
＝－b³ / a³ ＋ 3bc / a² { ∵ 解と係数の関係 より }
＝ (－b³＋3abc) / a³
(３) (α－β)² の値を求めよ。(中３の問題)
(α－β)²＝(α＋β)²－4αβ { ∵ (α－β)² ＝ α²－ 2αβ＋β² と
α²＋β²＝(α＋β)²－2αβ より }
＝ b² / a² － 4c / a { ∵ 解と係数の関係 より }
＝ (b²－4ac) / a²
(４) α⁴＋β⁴ の値を求めよ。(高１の問題)
α⁴＋β⁴＝(α²＋β²)²－2α²β² { ∵ (α²＋β²)² ＝ α⁴＋2α²β²＋β⁴ より }
＝ { (b²－2ca) / a² }²－2c²/a² { ∵ (１) と αβ＝c/a より }
＝ (b²－2ca)² / a⁴ － 2c²a²/a⁴
＝ ( b⁴－4ab²c＋2c²a² ) / a⁴
２次方程式の問題は、必ずしも「解の公式」を使う必要はない。
「解の公式」を使うと、解答に手間取ったり、答えにたどり着けない場合がある。