落語の有名なネタに『饅頭怖い』という話がありますが。
今日は「指数関数怖い」という話を、感染拡大、借金、そして講談を具体例にして。
指数関数とは、簡単に言うと、例えば「2をn回かけたときの値」というようなもの。
この関数には「初めはゆっくり増えるが、やがて急激に、爆発的に増えていく」という、恐ろしい性質があります。
2をn回掛けたときの値は、n=2なら4で、n=3なら8で、……と、最初はそれほど大したことないが、n=10になると1,024と、かなり大きな値になります。
グラフは「光学技術の基礎用語」より
https://www.optics-words.com/math/exp/exponentiation_2.html
（例1）
インフルエンザなど感染症の患者は、指数関数的に増えていくことが多い。
先日書いたとおり、宮崎県では新型コロナウイルス感染者が一週間で1.7倍というペースで増えています。大したことなさそうに見えますが、このペースで増えていくと、次週は1.7倍、その次の週はその1.7倍といった感じで、4週間後には
1.7×1.7×1.7×1.7≒8.35
で、現在の8倍ちょっとに。
そして5週間後にはさらにその1.7倍で現在の14倍ちょっとに。
1ヶ月後（4.43週）には今のだいたい10倍ちょっとになります。
（1.7の4.43乗は10.5なので）
2ヶ月後にはさらにその約10倍で、今の約100倍に。
仮に、今週の感染者が千人いたとしたら、2ヶ月後の週には約10万人に。
（あくまでも「1週間で1.7倍」が続いた場合）
（例2）
「トイチ」という利息があります。これは「10日で1割（10％）」という利息。ヤミ金融の漫画でよく出てきますね。
このトイチ、10日で返せば
元金＋元金の10％＝元金＋元金×0.1
＝元金×1.1
で済みますが、30日（10日×3）利息も払わず借り続けた場合
元金×1.1×1.1×1.1＝元金×1.331
（1.1の3乗は1.331）
ということで、借りたお金の1.3倍ちょっとに。
まぁ、これくらなら大した事ないかもしれません。
しかし、1年弱の360日間（利息を払わず）借り続けた場合。
360日（10日×36）は10日を36回繰り返したもの。
1.1を36回かけると30.91なので、元金の30倍超えに。
さらにそのまま360日借り続けると、さらにその30倍超えで、元金の900倍超えに。
というわけで。
トイチで1万円借り、2年間（730日＝10日×73）利息を払わず借り続けると、一千万円ちょっとになります。
（1.1の73乗は1,051）
ちなみに、日本の金利の上限は年20％。
トイチはこれを遥かに超えるので当然、違法。
そして違法な利息で借りた場合、法律上は利息だけでなく元金も返済する義務はなくなりチャラになるそうな。
（例3）
講談の『曽呂利新左衛門』より。
豊臣秀吉が、曽呂利新左衛門に褒美をとらせることにした。
「何がよい？」
と尋ねられた新左衛門
「初日は米1粒、2日目は2粒、3日目は4粒、4日目は8粒と、1粒から始めて、1ヵ月間、前日の倍の数の米粒を」
と願い出る。
秀吉は「そんなものでよいのか。欲がないのう」と安請け合いをするが……
旧暦の1ヶ月は、29～30日。
そして、2の29乗は、5億ちょっと。
米5億粒は、12トン程になるそうな。
しかも、初日から29日目までに渡す米粒の総和は
1 + 2 + 4 + 8 +…+5億ちょい≒10億
（高校数学「数列」の「等比数列の和」の公式）
なので、渡す米の総量は10億粒ちょいで、24トン程。
途中でこのことに気づいた秀吉は、慌てて別の褒美に変えてもらったそうな。
他にもいろいろあります。
コンピューターでシステムを組む場合、処理に必要な時間は、データ量に対して指数関数的に増えないよう設計。
逆に、暗号を作る場合、暗号解読に必要な時間は指数関数的に増えるように、最新型のコンピューターで解読しようとしても何十年、何百年もかかるように作成。我々がインターネット上で取引をする時、知らず知らずのうちに使っている「公開鍵暗号」はこうなっています。
……という、『指数関数怖い』の一席。