ハイレベル理系数学の
微分法とその応用をすすめている。
今日いままでやった4問はマジヘビーです。
自学習でやるひとは覚悟が必要。やっぱり手ほどきする人のありがたさってありますね。あとハイ理の説明が、さっぱりしすぎているのはあるので。ほんと正しい説明をしていてすごいなと思いますが。
例題40
(1)×に近い△
これは相当教育的な問題だが、入試の会場であわせられる自信がないな。
一番重要で、解答から読み取りきるのが、難しいなと思ったけど、おーーー、と思ったのは、
y＝√(x^3-ax^2)
の√を外すところである。
解答では、さらっと、±x√(x-a)
と書いている。しかし、ほんとは、
±|x|√(x-a)としてから、±x√(x-a)
と直すべきだと思った。三つ目の場合分けの中の増減表は、x軸より上の場合を議論してるわけではなく、x<0のときは、x軸より下、x>0のときは、x軸より上を議論しているので、混乱しやすいなと思った。x軸の上下でわけるとグラフのとがってるところがでないといけないので、絶対値が登場するってわけだね。
・y＝√(x^3-ax^2)の√の外し方
・グラフとがってるところは絶対値
・グラフかく問題は二回微分しましょう。
(2)○
最初にxyの関数にしようとして苦労した。
・xyの関数に直すか、媒介変数を用いたまま処理するかの切り替え
(3)○
まあ具体的にやってったらかける。
ただ角度による対称はなにげわかってないな。
・軸対称、線対称、点対称についてはきっちり理解必要。
例題41
(1)△
前半×。単調増加がわかってから、交点があるところを中間値の定理を用いてととめるところわからなかった。
はたして、この平均値の定理を用いて、一次関数に書き換えて極限をみて、そのあと中間値の定理を使っていくやり方は一般的なのか？特殊なのか？初めて見たなぁ。似たような問題があるといいのだが。
後半はよくある形。一般形でできるとつよいね。
・関数を平均値の定理を用いて一次関数に書き換える。
・グラフの交点が極限であることを予想して、平均値の定理を用いて、極限を求める。
(2)△
-∞の極限が×。
解答のtの正負を、分けて積分するやりかたはじめて知った。これも一般的なのかがなぞだな。初めてみた。
解答2のe^xをむりやりくっつけるやり方は微分方程式でもみたなぁ。でも発想としては、アクロバティックすぎて、定着がなかなかしない。。
ちなみに、ここで、(1)で使った平均値の定理をつかったやりかたで、極限を考えていくやり方をすると違った答えがみちびかれます。f'(c)の値が0に近似していったりするからですね。たぶん、これはなかなか難しい。
・不等式をtの正負を、分けてtから0まで積分、からの追い出し。
・f(x)±f'(x)をみたらe^±xつけるの検討
例題42○
ふー(3)むず。。
・微分可能の証明は定義に基づいて微分して、有限確定値になることを言うしかない。
・奇関数偶関数の定義。(ふつうの)
・増加関数を示すのはf'(x)>0だが、あるxのとき正で連続関数で、x軸との交点なければ、まあいえますね。
・使ってない条件や(2)の意味を考えて誘導にのる。(これはムズイわ。思いつくかどうかが運に寄っている。。)
例題43×
テイラー展開、マクローリン展開は知らなきゃ無理。生徒は何十分も悩まず解答をみるべし。
テイラー展開の証明の流れ
・f(c)のn回微分のところをkとおく。
・左辺から右辺引いたもののaをxとかえて、F(x)と定義
・上記の定義によりロルの定理が使える。
・そして、微分を計算するとk=f(c)のn回微分となるものがあることがわかる。