今日は、宝仙学園中学校共学部理数インター(適性検査型入試)で出題された「約束記号に関する問題」を紹介します。
適性検査ではよく出題される問題です。
親子で挑戦してみてください！
次の文章を読んで､あとの各問いに答えなさい。
お父さん：数也、今日は新しい計算の記号を考えてみたから、その話をしよう。次の△の記号はある法則を表しているんだけど、どんな法則かわかる？
２△２＝４ ２△３＝８ ２△４＝16 ２△８＝256
３△２＝９ ４△２＝16 ７△２＝49 ８△２＝64
数也くん：２×２＝４だからかけ算だと思ったけど、２×３＝６だからちがうな。わからないよ。どんな法則なの？
お父さん：これはね、△の前の数を、後ろの数の回数だけかけ算するという法則だよ。
２△２は２を２回かけるから２×２＝４
２△３は２を３回かけるから２×２×２＝８
３△２は３を２回かけるから３×３＝９
だね。ほかの例もこれでわかったかい？
数也くん：なるほど！そういう法則があったのか。２×２＝４が合っていたのはたまたまだったんだね。
例えば７△２は、７を２回かけるから７×７＝49だ！
お父さん：よくわかったね。
〔問題１〕
５△「 ア 」＝625の「 ア 」に当てはまる数を答えなさい。
数也くん：お父さん、２△４と４△２は両方とも16になっているけど、△の前と後ろの数を入れかえても、計算結果って同じになるのかな？
お父さん：面白いことに気づいたね。でもよく見てごらん。２△３と３△２や、２△８と８△２は計算結果がちがうよね。
数也くん：本当だ。でもなんで同じになったのかな？
お父さん：４△２は、どういう計算をするんだったっけ？
数也くん：４を２回かけるから、４×４＝16だよ。
お父さん：そうだね。そして、４は２×２だから……？
数也くん：そうか！４×４は(２×２)×(２×２)とも書き表せるから、２を４回かける２△４と同じになるんだね！
お父さん：そうだね。ちがう式でも同じ計算結果になるものが他にもありそうだね。
〔問題２〕
９△３＝「 イ 」△「 ウ 」の「 イ 」､「 ウ 」にそれぞれ当てはまる整数を２組答えなさい。
また、その考え方を、会話文を参考にして説明しなさい。
数也くん：じゃあお父さん、(２△５)×(２△３)のようなかけ算もできるの？
お父さん：できるよ。これは２△８と同じだね。
数也くん：えっ、２△８と同じ？どういうこと？
お父さん：この計算を、２が何回かけられているかに注目して考えてごらん。
数也くん：２△５は２が５回、２△３は２が３回かけられていて……わかった！全部合わせると２が８回かけられているから、２△８と同じなのか！
お父さん：そうだね、２△８は最初の例にあるから256だね。
数也くん：かけ算なのに足し算するんだね。面白い！
〔問題３〕
(４△３)×(２△５)＝２△「 エ 」の「 エ 」に当てはまる数を答えなさい。
お父さん：実はこの記号を使った魔方陣を考えてみたんだ。この間、学校の授業でも魔方陣をやっていたよね？
数也くん：うん、やったよ。縦横ななめ、どの１列の３つの数を足しても同じ数になるって決まりがあるんだよね。この間はこんな魔方陣だったかな(図１)。どの列を足しても15になっているね。
図１
お父さん：そうそう。お父さんが作った魔方陣はこれだよ(図２)。
図２
数也くん：…･･･えっ、なにこれ？
お父さん：数の代わりに、今日勉強した△の記号を使った式で作った魔方陣だよ。
しかもこの魔方陣は、縦横ななめの足し算の結果が同じ数になる魔方陣ではなく、縦横ななめのかけ算の結果が同じ数になるお父さん特製の魔方陣さ！
数也くん：えっ、足し算じゃなくてかけ算なの？なんだか急に難しくなった気がするな……。
〔問題４〕
(図２)の魔方陣の「 オ 」に入る△を使った式を１つ答えなさい。
宝仙学園中学校共学部理数インター 適性検査Ⅱ (2022年)
□解答・解説
〔問題１〕
625＝５×５×５×５となり、５を４回かけているので、５△４となります。
４ ……(答え)
〔問題２〕
９△３は９を３回かけるので、９△３＝９×９×９＝３×３×３×３×３×３となります。
これを３が６回かけられているとみると、３△６になり、３を３つずつ区切ると(３×３×３)×(３×３×３)＝27×27＝27△２になります。
また、９×９×９＝729×１とみると729△１になります。
(イ,ウ)…(27,２)、(３,６)、(729,１) ……(答え)
※このうち２組を書けば正解です。
考え方は、以上をまとめて次のようになります。
９△３＝９×９×９＝３×３×３×３×３×３となるので、３を３つずつ区切ると、(３×３×３)×(３×３×３)＝27×27＝27△２になり、３が６回かけられているとみると、３△６である。
〔問題３〕
４△３は４を３回かけるので、４△３＝４×４×４＝２×２×２×２×２×２
２△５は２を５回かけるので、２△５＝２×２×２×２×２
となります。
よって、(４△３)×(２△５)＝２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２より、２が11回かけられているので、２△11となります。
11 ……(答え)
〔問題４〕
８△２＝８×８＝２×２×２×２×２×２＝２△６
４△２＝４×４＝２×２×２×２＝２△４
となります。
これより、(図２)を「２△」の右の数を書き直すと、(図３)のようになります。
(オ)を(カ)とします。
(図３)のマスの数は、(図１)と同じになっているので、(カ)は９になることがわかります。
よって、(オ)は２△９になります。
２△９＝２×２×２×２×２×２×２×２×２となるので、
２を３つずつ区切ると(２×２×２)×(２×２×２)×(２×２×２)＝８×８×８＝８△３、
また、２△９＝512×１とみて512△１でも正解です。
２△９(または、８△３、512△１) ……(答え)
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