使い分けというより、そもそも別の言葉です。
意味はそれぞれ、「基軸」は「思想や組織などの根本・中心・基準となるもの」、「機軸」は「機関や車輪などの心棒」「物事の中心となるところ。活動の中心」「根本的な仕組み。構想。方法」「地球の自転の回転軸。地軸」です。（意味は全てデジタル大辞泉より）
とはいえ、両方とも「中心」という言葉が意味の中に含まれているように、似た感じでわかりづらいです。用字用例辞典には意味として「基軸」は「基本、中心」、「機軸」は「活動の中心、計画」とありますので、「基軸」のほうをちょっと大きい範囲のときに用いるのかなという印象を受けます。
済みません、はっきりしたことは言えないのですが、とりあえず用例として「基軸通貨」「～を基軸として」「新機軸を出す」とありますので、基本はこれに従って、そしてそれ以外のものは国会議事録で検索するのをお勧めします。日本語って難しいですね（＞＜）