これまでにもこのブログで何回か取り上げました、動物の名前は基本片仮名だけれども、慣用句になると表記が変わるパターンです。
というわけで、この「めじろ」は無論鳥の「メジロ」のことです。
「めじろ押し」という言葉は、「メジロが樹上に押し合うように並んでとまるところから」来ているそうで、（デジタル大辞泉より）ヤフーなどで「めじろ押し」で画像検索すると、本当にぎゅうぎゅうになって枝にとまっているメジロの画像がたくさんヒットして、見ているとほんわかした気分になりますので、仕事が立て込んで気分が殺伐としたときにはちょっと検索してみるといい気分転換になるかもしれません。