「奮って」

「自分から進んで。積極的に」（デジタル大辞泉より）という意味の言葉です。

「奮って御参加ください」という言い方以外余り見ないような気がします。そして大抵平仮名表記されているような気がしますが、用字用例辞典では漢字表記するルールです。

動詞の「奮う」も同じく漢字表記ですので、その活用形の「勇気を奮って参加した」も同じ表記になります。あわせて覚えると覚えやすいかもしれませんね。