何かと大阪のおばちゃんのかばんの中から出てくるといううわさのアレです。（私は目撃したことはありませんが）
同じ発音をするほかの言葉は、「雨」「天」でどう考えても漢字表記ですから、「あめ」と書くと言われたらそれしかないと思うんですけれども、「あめ」も一般的には片仮名表記されることが多いのではないかと思いますが、用字用例辞典では平仮名表記するルールとなっています。
ちなみに私は漢字で書く癖がついていて、たまに出てくるといつもつい漢字にしてしまって困っています。
例）秋口から春先までは喉あめをなめて、夏になったら塩あめをなめてと、結局年中あめをなめている気がする。
個人的には、上記例のように漢字との組み合わせが特に危険だと思っています。このほかには「金太郎あめ」なんかもありますね。
ちなみに「金太郎あめ」には、普通に食べるあめの意味のほかに、「似たり寄ったりで違いのないこと、画一的であることのたとえ」（デジタル大辞泉より）という意味もあるそうです。デジタル大辞泉でも挙げられている例は「今年の新入社員は金太郎飴だ」「金太郎飴的な補助金政策」ですし、国会議事録で調べてもどちらかというとネガティブな意味で使われることのほうが多いようですね。すごい技術なのに、ちょっと残念なような気もします。