辞書では一つの項目として記載されていますが、用字用例辞典ではその意味によって表記の使い分けが必要なものです。
用字用例辞典には平仮名表記のほうの例として「…のはずみに」「軽はずみ」、漢字表記のほうは動詞「弾む」で意味として「はねる」「粗くなる」「気前よい」、例として「まりが弾む」「息が弾む」「チップを弾む」「弾み車」とあります。
これではちょっとわかりづらいので、辞書の意味と比較してみるために、まずデジタル大辞泉より「はずみ」の意味を引用してみます。
１ はずむこと。勢いよくはね返ること
２ 勢いがつくこと。調子づいて活気を帯びること。また、その勢い・活気
３ そのときの思いがけない勢い。その場のなりゆき
４ 何かをしたその拍子。その途端
５ 金品を奮発すること
これを上記の用字用例辞典の記載と比較してみると、１と５は漢字表記で、２と３は平仮名表記であることがわかります。
４の「何かをしたその拍子。その途端」は微妙なのですが、用字用例辞典に記載されている「弾み」の意味とはちょっと違いますし、国会議事録で検索すると平仮名表記のものが幾つかヒットしたので、平仮名表記でよいのではないかと思います。（済みません、ここは不確定で）