これまでこのブログで何度か出てきたような気がします、非常に勘違いしやすいパターンです。
用字用例辞典では「投げる」も「打つ」も漢字表記ですけれども、その組み合わせである「なげうつ」は平仮名表記になります。
用字用例辞典の「なげうつ」の項目を見ると、漢字だと「擲」である旨記載されているためであると思われますけれども、これもたしか同じようなパターンが今まであったと思います。なお、辞書だと漢字では最初に「投げ打つ」が記載されています。
例）彼は私財をなげうって芸術を支援した。
個人的には、「投げ打つ」だと球技のような感じがするので、平仮名表記のほうがしっくりくるような気がしていますが、ほかの「投げ●●」は大抵漢字なので、うっかり間違えないようにしないといけないです。