御存じ、ラケットで羽根を打ち合うあれです。
知らない方はいらっしゃらないでしょうが、なぜここにあえて取り上げたかといいますと、私の家にも小さいころからラケットとシャトルがあり、私はそれをずっと「バ「ト」ミントン」と呼んでおりまして、ついつい最近までそのように思っていました。
が、あるときふと確認しようと思い用字用例辞典を見たのですが、項目はなく、それで国会議事録で検索したところ、「バドミントン」だったわけです。
確かに英語のスペルを見ますと「badminton」ですから、片仮名で表記するのは正確ではないですが当然発音は「バドミントン」のほうに近いです。
なぜ「バトミントン」と呼んでいたのかは不明ですが、「ト」のほうが発音しやすいからかもしれません。（あくまでも推測ですが）
ただ、思い出せば子供のころ周囲は皆「ト」の発音だったような気もしますので、同じように今も「ト」で発音されている方がいらっしゃるかもしれません。もし今も「ト」で発音している方がおられたら、用字用例辞典に沿った表記をするときは「ド」であるとちょっと心にとめておいてください。