「つかえる」と発音する動詞は幾つかありますが、平仮名で表記するのは「使える」「仕える」ではなく、表題にある「支える」と書ける場合のものです。
基本的には平仮名表記となり、一つだけ漢字で記載する例外として「差し支える」があります。
例）あのショッピングセンターの駐車場がいっぱいで車がつかえていて道路が渋滞しているのか。
そのことが気になって胸がつかえて食べ物が喉を通らない。
ただ、個人的には、むしろ「胸がつかえる」等はそういう漢字を使うものだったのかという印象です。一般的にも通常は「つかえる」の平仮名表記で、「差し支える」だけ漢字表記なのをよく見かけるような気がします。
というわけで、きょうは使い分けでありながらそれをあまり意識する必要はないという新パターンです。気をつけるべきことは、表題とは無関係になりますが、「差し支え」の「し」を落とさないようにということぐらいかと思います。