きのうの「味」or「み」と同じように接尾語です。
五十音では「まみむめも」で「み」の次の「め」と、何となく似たようなものではないかというイメージがありますが、表記ルールは「み」と「め」は決定的に違っていて、基本的に「め」は漢字表記であります。
用字用例辞典に記載してある例から幾つか挙げますが、「控え目」「５日目」「少な目」「長目」「大き目」などと表記します。
「５日目」なんかはいいとして、「長目」なんかは、私は最初ごろは「味」の書き分け（和語は平仮名表記）と混同していまして、しかも私の使っている日本語入力システムでは「ながめ」の変換は「め」が平仮名でしか出なかったので、結構間違っていました。今でもたまに間違いそうになります。
なお、基本的に漢字表記ということで、ではこの表題の「ｏｒ 「～め」」という平仮名表記はいつ使うのかといいますと、用字用例辞典に注記があります。こちらも引用しますが、「３項め」「３項目め」です。
恐らくですが、「項目（こうもく）」と間違えないための例外なんでしょうね。
この例外はすんなり覚えられるのではないかと思います。問題はやはり基本の漢字表記です。しっかり「味」と分けて覚えることがポイントかと思います。