一緒じゃないのかと思われた方もいらっしゃるかと思います。私も最初しょっちゅう間違えていました。
ですが、辞書を調べますと、「夏季」は「夏の季節」、「夏期」は「夏の間、夏の期間」という漢字そのままの意味で微妙に意味が異なります。
恐らく例を挙げたほうがわかりやすいかと思うので、とりあえず例を挙げてみます。
例）工事予定地の環境を把握するために、夏季、秋季、冬季、春季それぞれ１回ずつ環境調査を行うこととする。
志望校合格のため、塾の夏期講習に最大限参加して実力をつけよう。
これでも少しわかりづらいですね。
さらに例を挙げてみますと、よく出現するものですと、オリンピックは「夏季」、休暇も「夏季」、ボーナスも「夏季」、電力需要も「夏季」です。
用字用例辞典には「夏期」は「夏季」の例外表記であるように記載がされているので、ほぼ「夏季」でオーケーと考えていただけたらよいのではないかと、個人的には思います。私もこれまでの仕事の中で「夏期」のほうが出てきたことはありません。（もしかしたら気づいていないだけなのかもしれませんが）