私はこれを、この仕事を始めてからしばらくの間、全部「押し進める」と変換していました。
しかし、辞書を調べると別項目で書かれている、全く違う意味の言葉なんですね。
「押し進める」は、その字のまま「押して前進させる」の意味、「推し進める」は、「物事をはかどらせる。発展させていく。推進する」という意味です。（ともにデジタル大辞泉より）
例）現政権は経済再生のための政策を強力に推し進めている。
例を挙げたのは「推し進める」だけのほうですが、実際国会議事録を調べますと過去５年で該当の使い方は１件（検索結果は５件だが、うち誤用が４件）で、用字用例辞典にはそもそも「押し進める」の項目はありません。「押し進める」の意味で使われることは、ほとんどないということでしょう。
つまりは、私がこの誤りに気づくまで「押し進める」と記載していたものはほぼ誤りであったと言ってもよいでしょう……。
ちゃんと調べたらなかったはずのミスです。これはしっかり納品前チェックリストに入れましたので間違いをスルーして納品してしまうことはないですが、ほかの言葉でこういうことが発生しないように、一層気をつけていこうと考えております。