これは、ちょっと使い分けが難しいと私個人は思っているものの一つです。
用字用例辞典を見てみますと、「戦う」は「戦争、競技」、「闘う」は「闘争」の意味の場合と書いてあります。
さらに、用例としては、「戦う」は「敵と戦う」「試合で戦う」「選挙戦で戦う」「インフレとの戦い」等、「闘う」は「寒さと闘う」「病気と闘う」「労使の闘い」と記載されています。
説明がシンプル過ぎて何となくわかったようなわからないようなので辞書を引いてみましたところ、「戦う」と「闘う」は一緒の項目で、以下の五つの意味が記載されておりました。
１ 武力を用いて互いに争う。戦争する。
２ 互いに技量などを競い、勝負を争う。競争する。試合する。
３ 思想や利害の対立する者同士が自分の利益や要求の獲得のために争う。
４ 苦痛や障害を乗り切ろうとする。打ち勝とうと努力する。
５ 互いにたたき合う。
この上で、補足説明として、「３と４は多く「闘う」と書く」とあります。
（いずれもデジタル大辞泉より）
これにより、辞書の補足説明にある３、４の意味と、用字用例辞典の記載が一致していることが見てとれますが、同時に、補足に「多く「闘う」と書く」とあることから、一般的には「戦う」と記載されることもあることもわかります。
私もその例に漏れずで、全部「戦う」と書いても余り違和感がなく、あるとき気づくまで全て「戦う」にしておりました。今でもつい「戦う」にしてしまいそうになります。
よって、毎回納品前に検索して、チェックをかける言葉の一つとしております。