正直申し上げますと、この仕事を始めるまで、「調う」は意識して使ったことがありませんでした。
あるとき「整う」は漢字か平仮名か確認してみようと用字用例辞典を開いたところ、たまたまその下にある「調う」が目に入ったんです。つまり、それが目に入るまでは全部「整う」にしていたんですね。残念な話です。
さて、どう使い分けるかというと、「整う」は「整備、調整、整理」の意味で、「調う」は「成就、そろう」の意味です。
つまり、しばらく前に芸人さんが「ととのいましたー」からネタに入っていたのは、漢字で書くと「調いましたー」なんですね。
（例）会議の準備が整った。
協議が調い、条約が締結された。
嫁入り道具を調え、娘を嫁に出した。
「整う」のほうが圧倒的に使用頻度が高く、「調う」をつい「整う」と変換してスルーしてしまいがちなので、気をつけなければいけない言葉だと思います。