ストローと輪ゴムで正20面体を作ってみました。
正20面体は、正3角形20枚でできた立体で、頂点に5枚の正3角形が集まります。
頂点に5枚の正3角形から、全体で正3角形20枚が出てきたのか気になりますが、とりあえず正3角形20枚から辺と頂点の数を求めます。
辺の数は、正3角形が20枚ということで3×20で60本になりそうですが、各辺は接する正3角形2枚で共有するので2で割って30本です。
頂点の数も同じく、正3角形が20枚ということで3×20で60点になりそうですが、各頂点を5枚で共有するので5で割って12点です。
正20面体を4色のストローで作りました。
正4面体は接しない辺どうしを同じ色で3色に、
正8面体は各軸の平面にできる正方形を同じ色で3色に分けて作りました。
正20面体の辺の色の分け方は色々考えられますが、今回に2種類の分け方で作ってみました。
まずは、面から見た時の位置関係で色分けしました。
・橙…正面の正三角形と反対側の逆向きの正三角形
・青…各辺の真ん中を結ぶと橙の正三角形になるように作る橙の約2倍の大きさの逆向きの三角形
・黄…橙の三角形の各頂点から伸びる辺で、橙と隣り合わない辺。放射状に広がる。
・赤…橙の三角形と接しない6辺。この角度からだと正6角形に見えるが、奥行きが交互に異なる。
正六角形を描いて、丸みを帯びた青の三角形を2つ描いて、その中点を結ぶと良い感じに描けます。橙の三角形を先に描く方が一般的ですが、こちらの方が簡単だと思います。青の三角形の真ん中の角は約164.4775°(2Cos⁻¹{1/(φ²2√2)})でほぼ真っ直ぐと言って問題ないです。
次にほぼ横から見ていきます。
赤の辺から見た形です。15本の辺が見えるので2本ずつ重なっているように思えますが、外側の黄色の辺は1本だけで、左上・右下の青黄青橙が集まっている点は奥行き方向に橙の辺があります。
赤の辺は3本がS字になっていますが、反射している方を見ると、特徴的な形になっています。シクロヘキサンの椅子型に近い形です。
次に橙を含まない頂点から見た写真です。
赤の辺は蝶ネクタイのような形になり、奥行きが狂いそうです。下側2辺が手前で、上側2辺が奥です。
ところで、頂点に5枚の正3角形が集まった立体の面の数が20枚になるのでしょうか？
別の色分けで作った物で考えてみます。
こちらは頂点から見た位置関係で色分けしています。こちらは3色で全て10本です。
・黄…頂点から伸びる5辺と向かいの頂点からの5辺。互い違いになっている。
・橙…正5角形。裏と反対向き。
・青…橙の2枚の正5角形を繋ぐような正10角形
橙の10点について見ると、橙2本と黄1本の3本が錐体の時点で使っています。
正4面体の場合は頂点に3本集まるのでそれで終わりです。
正8面体の場合は頂点に4本集まります。4本は等間隔になるので、裏も同じ形になります。
正20面体の場合は、2本余ります。5点から2本ずつの10本で、面の形が3角形なので隣り合わせの点は繋がるはずです。そうすると向かいは5点に集まります。向かいも正5角錐になります。
垂直に見た図です。橙の正5角形が潰れます。なお、青の部分の高さは(√5/5)×√(2+φ)≒0.8507、黄色の高さは(√5/5)×√(3-φ)≒0.5257なので黄色の錐体を両方凹ますと干渉してしまいます。
面から見た写真です。先程の写真と似ていますが異なります。
