正20面体 抵抗(3) 2つ離れた点 7/15

　前回は辺の合成抵抗について求めた結果、11/30になりました。

『正20面体 抵抗(2) 辺』

　今回は2つ離れた点の合成抵抗について求めます(7/15)。

◯2つ離れた点として、B(1),D(0)を選びます。

◯各頂点の距離は

　・O,C(1,1)、O',C'(2,2)

　　…この4点はB(1)からの距離とD(0)からの距離が等しいので電位は1/2です。

　・A,E'(1,2)、E,A'(2,1)

　・D'(1,3)、B'(3,1)

　です。

◯B(1)から流れる電流の和は、

　(B-O)+(B-A)+(B-C)+(B-D')+(B-E')

　=5-(1+2A+D')

　=4-2A-D'…(0)

　となります。

◯A(1,2)についての式

　5A=O+E+B+C'+D'=2+(1-A)+D'

　D'=6A-3…(1)

◯D'(1,3)についての式

　5D'=A+B+C'+E'+O'=2+2A

　5D'=2A+2…(2)

A(1,2),D'(1,3)の2文字についての式が、

(1),(2)の2本立ちました。

連立方程式を解きます。

◯式(2)を式(1)に代入すると、

　5D'=2A+2

　5×(6A-3)=2A+2

　28A=17

　A=17/28…(3)

◯式(3)を式(1)に代入すると、

　D'=6A-3　

　D'=6×(17/28)-3

　D'=9/14…(4)

◯式(3),(4)を式(0)に代入すると、電流の和は、

　4-2A-D'=4-2×(17/28)-(9/14)=15/7

　よって合成抵抗は7/15と求まりました。

　辺の合成抵抗11/30より大きいです。

各頂点の電位は、

・B(0,2)…1=28/28

・D'(1,3)…9/14=18/28

・A,E'(1,2)…17/28

・O,C(1,1)、O',C'(2,2)…1/2=14/28

・E,A'(2,1)…11/28

・B'(3,1)…5/14=10/28

・D(2,0)…0=0/28

となりました。

概ね距離の比の順になっています。

正20面体の合成抵抗は、

・1…11/30

・2…7/15=14/30

・3…1/2=15/30

となりました。

正20面体

『正20面体 抵抗(2) 辺 11/30』

『正20面体 抵抗(1) 概論+対蹠点 1/2』

他の正多面体

『正多面体 合成抵抗 まとめ+概論』