まず、2つのバージョンのTomcatがインストールされている環境ではお互いがうまく動かない可能性があると考えて、新しいバージョンではあるものの後からインストールしたTomcat5.5はWindowsの「アプリケーションの追加と削除」で削除してバージョン3.2.3のTomcatだけがインストールされている環境に戻しました。
次に基本に戻って参考書籍を最初から読み直してみました。
サーブレット&JSP実践プログラミングテクニック/秀和システム

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「サーブレット」はサーバーに保存するJavaの小さなプログラムの事なわけですが、実行するためには「サーブレットコンテナ」というアプリケーションを使う必要があります。今利用している「サーブレットコンテナ」は「Tomcat」というサーブレットコンテナ機能とWebサーバーの機能を併せて持っているアプリケーションです。このTomcatの設定が正しく行っていないと、サーブレットは動きません。
面倒臭くて読み飛ばしていたところに大事な設定がありました。
「classpath」という環境変数の設定が正しく行われていないとプログラムが実行できないことに気づきました。
servlet.jar
jasper.jar
webserver.jar
というjar(Javaアーカイブ)ファイルのある場所を「classpath」環境変数で設定する必要がありました。この3つのjarファイルをCLASSPATH環境変数でどこにあるかを指定するバッチファイルを書籍に従って作って実行してからTomcatを起動しました。
次に実行ファイルの指定方法ですが、
サーブレットのファイルが置いてある実際のディレクトリ構成とサーブレットとしての指定方法が違うようです。参照記事に書いたとおり、サーブレットの実体は
<Tomcatのフォルダ>/ webapps /<ユーザー指定のフォルダ>/ Web-inf / classes
に置きます。
実行するためのブラウザからの指定には書籍のとおりに「http://localhost:8080/servlet/HasNoName」と指定してみたところ、下の図のようにサンプルのサーブレットが動きました。

この書籍をまだあまり深くは読んでいないのですが、どうやらサーブレットを使いたい時には、
<サーバーURL>/servlet/<サーブレット名>
という指定の仕方をするようです。
推測ですが、/servlet/と指定することで、Tomcatがサーブレットの起動要求と認識して、ライブラリの中のservlet.jarファイルを使ってサーブレットを実行してくれるのだと思います。
推測も含んだ動作確認なので少し気持ち悪いのですが、とりあえず動作確認ができました。