ついこの間、素因数に関する単純明快ながらどこか奥深い内容を含んでいそうな問題に出くわしたので少しばかり考察してみようと思う。
11より大きい４個の連続した整数の中には、11よりも
大きな素因数が少なくとも１つ存在する
これは D. ウェルズの「数の事典」（これは数のレクリエーションを愉しむには古典的な名著である）のp.110 に掲載されている。断定口調で書かれているので、証明済みであることは間違いないと思うが、出典は明らかにされていない。簡単に証明できるものやらどうか分からないし、もしかすると少しばかり考察すれば証明可能なのかも知れない。
自然数を列挙し素因数分解してみると、確かに上の事実が成り立ちそうなことが分かる。それも絶対値が小さなうちは、当然ながら 11 より小さな素因数を持つケースが続出する。しかし先へ進むにつれて、条件を満たす合成数を見つける方が困難になってくる。
11 から先を検証するにあたって、まずそれは当然素数であってはならない。連続する組を見つけるには素数の集団を避ける必要がある。しかし合成数であっても、条件を満たさないものの方がずっと多い。26 のように最小の素因子 2 を持つにも拘わらず、その「相棒」が 11 を超える場合があるからだ。
11 以下の素因数のみで構成される合成数を考えると、結局 2, 3, 5, 7, 11 からいくつかの素因数を組み合わせた形でしか有り得ない。単一の素因数で構成した場合、等比数列レベルで増加していくからこの中から組み合わせても、絶対値が大きくなるにつれて条件を満たす合成数は次第にまばらになっていくのではないかと想像される。即ち、条件を満たす３連続が無限にあるとしても、その分布状況はいくらでも疎になっていくように思われる。
これを検証するもっとも素朴な方法は、配列 D(a,b,c,d,e) を準備しておき、各変数にゼロ以上の任意の整数値を取らせ、N = 2a*3b*5c*7d*11e を計算して小さい順に並べてその分布を調べることだろう。
実演していないものの、かなり速いスピードで疎になっていくだろう。のみならず、その状況は出現する素因数の種類をもっと増やしても恐らく同様と思われる。そして条件を満たす連続合成数の最大個数は、結局、絶対値の小さな「数の幼少期」に依存し、十分大きなオーダーに到達すれば、２連続するものすらゼロ個になってしまうのではなかろうか。
この予想は、以前書いた「有限個の素数または素数ベキを２つのグループに分け、差が１になるような分け方を無限に構成できるか？」という問いに関連している。出現する素数の種類が少なく、絶対値もさほど大きくないうちは簡単に構成できた。しかし素因数の種類が増えると、構成される積は爆発的に増大するので、差が１になるような組み分けを探すのは非常に困難だし、かと言ってそのような分割は存在しないことを証明することも更に困難であろう。
あまりに一般例が先行し過ぎてワケが分からなくなりそうなので、具体例で説明してみよう。
100 以下の 25 個の素数 2,3,5,7,11,13, ‥ , 89, 97 を採用する。この素因子を自由に組み合わせて
2a * 3b * 5c * 7d * 11e * ‥ * 97y
の如き素数および合成数を作り上げる。（ただし指数はゼロ以上の任意の整数）
そして全部の数値を小さい順に並べ上げたとき、２連続するものはあるとしても有限個である？
・・・という予想である。
そして根拠のない直感的な予想だが、組み合わせる材料に用いる素因数の個数が有限個なら、こうして構成された数値が隣り合うケースも有限個しかないような気がする。隣り合うどころか、最も近接する条件を満たす数値すら、その差は無限に大きくなっていくのではなかろうか。
もちろんまだ数値演習は行っていないが、これとよく似て条件をもう少し緩和させた別の種の問題なら過去に検証したことがある。もちろん証明はできていないものの、その問題にあっては、７～８桁程度の数値レベルで 10 連続、20 連続 ‥ という数値的な実例が見つかっていた。（甚だ遺憾なことに、この数値データおよび検証プログラムは、去年起きた「ハードディスククラッシュ事件」で全部失われた）
いずれにしろ、この種の問題は「証明も反証もされていない宙ぶらりんな状態」に辿り着くことが多い。素因数の問題は、そのまま素数の分布に帰着される。そして素数分布に関しては、大局的にはどのような性向を持つか解析されているものの、ミクロに見れば大変に不規則であり、その状況を描写する数学的に簡単で扱いやすい記述法がない。このために多くの問題が未解決のままで宙づりになっているのだろう。