夏の日の午後(岡村孝子)

君のぬくもりが肩に残る
遠く視線の先
君との未来みてた

おなじ花を見て綺麗と言う
でも微妙にずれていたんだね

時間はふれあいを思い出に変えるけど
きっと思い出してあたたかくなれるだろう

君からもらった心の贈り物
僕は大切にするだろう

倖せなんて
単調な日々の中にあるもの
波を越えて強くなる絆だと思う

君が僕をすり抜けて遠くを見つめても
それは僕が見つめる未来とおなじもの
そこに僕はいないけど
それぞれの道　歩いていこう

時間について(飛んでも科学)

時間について。熱力学的に。


時間は局所的に定義されるものである気がする。我々の地球の時間は広い宇宙におけるローカル地球時間である可能性も否定できない。

時間の一様性は、(空間軌道運動について)エネルギーの保存を示唆するが、もし宇宙の安定性を示唆するエネルギーライクな リャプーノフ(Lyapunov) 関数が存在すれば、宇宙のダイナミックスは、あるひとつの終局状態である平衡状態に近づく。故に宇宙は時間的にポテンシャルが減少していくシステムとなり、系が孤立系であれば、gradient system(保存場)として時間の一様性が保証されよう。

しかし宇宙の運動が単振動のようなゆれを繰り返す閉軌道運動をするものであれば、システムは開放系であるべきでエネルギーが外から供給される星が存在する可能性も否定できない。この場合gradient system は崩れ、この星では時間の一様性は破れることになる。
一方で、このような星が開放系で、かつエネルギーの授受につき非平衡系(詳細つり合いが成り立たないシステム)であり、さらにシステムに入力として外乱が加わったとき、エネルギーを保存させるフィードバック機構をもてば、協同現象としての’’時間コヒーレント性’’とでも呼ぶべきもの(時間の一様性に準じるものでバラバラな多時間をそろえる性質のものと言えるだろうか)が存在する可能性もある。この時間コヒーレント性は熱力学でのエントロピー的には不安定なもので、エントロピー最大原理より、この星の運動はコヒーレント性を破る方向に向かうだろう。

宇宙全体として、もしエネルギーを外部と授受しない孤立系であれば、上の議論より大宇宙統一時間が存在するかも知れないが、宇宙全体が大域的かつ漸近的に、ある平衡解に収束する保存系である可能性は低いと思う。おそらく宇宙全体は孤立系ではなく、外部とエネルギーのやりとりをする閉鎖系もしくは開放系であろう。この場合、大宇宙統一時間の存在する可能性は低い。
この地球も、おそらくはエネルギーを外部とやりとりする開放系であろうから、上の議論におけるように熱力学的に現在の地球時間の一様性も破れる方向に向かっているのかもしれない。

また例えば、身近な例で流体のベナール(Benard)対流のような不安定な運動は、ポテンシャル運動ではなくエネルギー供給源を他に持っているために生じる非保存系の現象だろうが、宇宙のなかでベナール対流のような不安定な運動をしている星があれば、その星には地球時間とは別の時間の一様性が成立しない何か別の’’時間のようなもの’’が存在するかもしれないし、あるいは時間が存在しないと考えてもおかしくはないと思う。

土曜日のつれづれ

以下のシステム①とシステム②はどちらが安定だろうか。




システム①の運動方程式は
m1 * y1(t) ’’= -k1 * y1(t) - c1 * (y1(t) ’- y2(t) ’)
m2 * y2(t) ’’= -c1 * (y2(t) ’ - y1(t) ’) - k2 * y2(t)
ただし、変数の肩の’は時間 t による微分を表す。

システム②の運動方程式は
m1 * y1(t) ’’= -k1 * y1(t) - k2 * (y1(t) - y2(t))
m2 * y2(t) ’’= -k2 * (y2(t) - y1(t)) - c1 * y2(t)’

上の運動方程式で、新しい変数 x1 , x2 , x3 , x4 を以下のように導入する。

x1 = y1
x2 = y1 ’
x3 = y2
x4 = y2 ’

上の運動方程式で、簡単のために、m1 = m2 = k1 = k2 = c1 = 1 と置いて、変数 x1 , x2 , x3 , x4 で表すと、
システム①の運動方程式は
x1 ’ = x2
x2 ’ = -x1-(x2-x4)
x3 ’ = x4
x4 ’ = -(x4-x2)-x3

システム②の運動方程式は
x1 ’ = x2
x2 ’ = -x1-(x1-x3)
x3 ’ = x4
x4 ’ = -(x3-x1)-x4

ここでシステム①、②の運動方程式の右辺を行列表記した時の係数行列をそれぞれ A1 , A2とすると、係数行列 A1 , A2 の固有値は フリーソフトの　Scilab を使って求めると

A1 の固有値は、以下の一組の共役複素根と重複実根である。
- 1.110D-16 + i
- 1.110D-16 - i
- 1.0000000
- 1.

A2 の固有値は、以下の二組の共役複素根である。

- 0.1048766 + 1.5524918i
- 0.1048766 - 1.5524918i
- 0.3951234 + 0.5068439i
- 0.3951234 - 0.5068439i

システム①の固有値を検討すると、固有値の実部はすべて負であるからシステムは安定である。
また、負の重複実根をもつので、システムは振動せずに減衰することになる。ここでは、直観的にm1 = m2 = 1 と置いたので、質量が等しいことにより、m1 が振動せずに減衰していくことになる。

システム②の固有値を検討すると、固有値の実部はすべて負であるのでシステムは安定である。
固有値のいずれも複素根であるので、m1 , m2 はいずれも振動しながら減衰していくことになる。

質量、ばね、ダンパ係数等のパラメータの採り方にも依存するので実験してみないとわからないが、質量が m1 > m2 のときは両者とも不安定になる気がする。また、システム①のほうが地面にばねがついている分、質量 m1 に外力が加わった時にショックアブゾーバとしては向いている気がする。