大気の運動は、よく知られているようにナビア・ストークスの２階非線形偏微分方程式で記述される。しかし、この方程式は複雑で現在のスーパーコンピューターをもってしても解析は困難である。
1963年、ローレンツ(E.N.Lorenz)は、気象を予測するために簡単な現在ローレンツ・モデルと呼ばれる微分方程式系を考案した。彼は大気を２次元の流体セルの集まりとして捉え、大気が下から暖められることで上昇し、上から冷やされることで下降するとして気象現象をモデル化し、さらにこの無限個の変数をもつ大気モデルを単純化して、３つの変数を取り出した。すなわち対流の速度 x と、水平方向、垂直方向の温度変位 y , z を無限個ある変数から抽出した。結果このモデルは具体的に以下のような微分方程式で記述される。
x(t) ' = σ * (y(t) - x(t))
y(t) ' = r * x(t) - y(t) - x(t) * z(t)
z(t) ' = x(t) * y(t) - b * z(t)
但し、変数の肩の ' は時間微分とする。またパラメータとして、プラントル数σ、レイリー数 r 、系の物理的サイズに関わるパラメータ b を含んでいる。３つのパラメータはすべて正であり、σ > b + 1 と仮定する。
この微分方程式系を、σ = 10 , b = 8/3 , r = 28 , とし、初期値(0 , 2 , 0) 及び(0 , -2 , 0) のもとで解くと、以下のような解曲線が描かれる。(フリーソフトScilabを用いた)
① 初期値 (0 , 2 , 0) の時
② 初期値 (0 , -2 , 0) の時
上のように、方程式の単純さからはかけ離れた予測のつかない解曲線を描くので、ローレンツモデルはストレンジ・アトラクターとも呼ばれ、カオス現象の端緒となる方程式である。
また、上の例のように、初期値によって、解曲線が、左右ダイナミックに変化しているが、これはカオス現象に特有の初期値鋭敏性によるものである。
尚、ローレンツと同じ年、日本の上田睆亮(よしすけ)博士が非自励非線形２階常微分方程式につきカオス現象を発見している。
参考
力学系入門 Hirsch他、
1963年、ローレンツ(E.N.Lorenz)は、気象を予測するために簡単な現在ローレンツ・モデルと呼ばれる微分方程式系を考案した。彼は大気を２次元の流体セルの集まりとして捉え、大気が下から暖められることで上昇し、上から冷やされることで下降するとして気象現象をモデル化し、さらにこの無限個の変数をもつ大気モデルを単純化して、３つの変数を取り出した。すなわち対流の速度 x と、水平方向、垂直方向の温度変位 y , z を無限個ある変数から抽出した。結果このモデルは具体的に以下のような微分方程式で記述される。
x(t) ' = σ * (y(t) - x(t))
y(t) ' = r * x(t) - y(t) - x(t) * z(t)
z(t) ' = x(t) * y(t) - b * z(t)
但し、変数の肩の ' は時間微分とする。またパラメータとして、プラントル数σ、レイリー数 r 、系の物理的サイズに関わるパラメータ b を含んでいる。３つのパラメータはすべて正であり、σ > b + 1 と仮定する。
この微分方程式系を、σ = 10 , b = 8/3 , r = 28 , とし、初期値(0 , 2 , 0) 及び(0 , -2 , 0) のもとで解くと、以下のような解曲線が描かれる。(フリーソフトScilabを用いた)
① 初期値 (0 , 2 , 0) の時
② 初期値 (0 , -2 , 0) の時
上のように、方程式の単純さからはかけ離れた予測のつかない解曲線を描くので、ローレンツモデルはストレンジ・アトラクターとも呼ばれ、カオス現象の端緒となる方程式である。
また、上の例のように、初期値によって、解曲線が、左右ダイナミックに変化しているが、これはカオス現象に特有の初期値鋭敏性によるものである。
尚、ローレンツと同じ年、日本の上田睆亮(よしすけ)博士が非自励非線形２階常微分方程式につきカオス現象を発見している。
参考
力学系入門 Hirsch他、