数学難問集

大学入試の数学難問集。書店で見かけて買ってしまいました。



難しいです。
私が現役の頃は、〈数学Ⅰ〉、〈基礎解析〉、〈代数幾何〉、〈確率統計〉、〈微分積分〉という教育課程だったのですが、今の課程は行列、一次変換が外れて、整数があらたに入ったという噂を聞いたのですが、どうなのでしょうか。
理工系大学教養では線形代数は必須だと思うのですが一次変換は高校では習わなくなるのですね。確かに整数は、理系であれば社会に出てディジタル世界の基礎概念とも言える群、環、体論に馴染むために必要概念かもしれませんが、整数の問題は難しいという印象があります。ひらめき重視というか。あと複素平面が新課程に入ったという噂も聞いたのですが、複素数の大きさとか偏角のイメージはどの分野でも応用に効くし必須だと思うので納得です。
いずれにせよ、この難問集はまだ数問しか解いてませんが、題の通り私には難しそうですが、なまった脳を活性化するために週末ゆっくり一題くらいでチャレンジしたいです。素人が語ってしまいました。

promised you(ZARD)

愛は強く　時に弱く揺れるもの
でも飽くことなく繰り返すもの

あの場所にいこう
ふたり離れた時　取り戻そう

あの時僕は生き方に強引で
優しさを忘れていたね
おなじ歩幅で歩けなかった

モノクロームの誓い
ふたり朝まではしゃいだね

こども染みた約束でも
僕を支えていたよ
淡い恋を守った時間　永かったね
きっと愛に変わったのだろう

もう一度始めよう
永い冬は溶け
ぬくもりに希望を繋ぎ
僕らはまた巡り合うよ
そう　春の悦びに胸膨らませ歩き出そう

複素積分と留数について

今年の大学入試もひと段落したようなので、たまには素人なりに教育的な記事を。ということで大学基礎課程の複素関数の積分についてざっくり書いてみたいと思います。

【問題１】
複素関数 f(z) = (z-a)^ n (n は整数)を、中心 a で半径 r の円周に沿って積分せよ。

[解]
積分路 C は、C : { z | z = a + re^iθ, 0 ≦ θ ≦ 2π }と表せる。
すると、f(z) = (z-a)^ n = r^n × e^inθ, dz = rie^iθ × dθ
よって、

∫(z-a)^ndz = ir^(n+1)∫exp(i(n+1)θ)dθ
　　　　　　 = ir^(n+1)∫{cos(n+1)θ+isin(n+1)θ}dθ　
ただし積分路はCである。以下同じ。
故に、

1) n+1 = 0 のとき、すなわち n = -1 のとき
∫f(z)dz = ∫dz/(z-a) = ∫ idθ = 2πi
但し、定積分は 0 ～2π まで。以下同じ。
2) n+1 ≠ 0 のとき、すなわち n ≠ -1 のとき、
∫f(z)dz = ∫(z-a)^ndz = ir^(n+1)[sin(n+1)θ/(n+1)-icos(n+1)θ/(n+1)] = 0

よって、

n = -1 のとき。∫(z-a)^ndz = 2πi
n ≠ -1 のとき。∫(z-a)^ndz = 0　　　　　■

以上の結果から分かるように、f(z) = (z-a)^n の定積分は、被積分関数の指数 n について、n = -1 の時のみ定積分の値に影響を与え、n ≠　-1 では 0 である。この意味で、問題１の定積分は以下述べる考察において非常に重要な意味をもつ。

ここで、正則関数 F(z) が C を境界とする領域内に孤立特異点a を唯一もつ場合を考え、F(z)を a のまわりでローラン展開(Laurent expansion)する。ローラン展開とは、正則関数の特異点まわりの級数展開であり、テイラー展開を拡張したものである。

(1) F(z) = ∑b(n)(z-a)^n
∑ は n につき -∞ から ∞ まで。以下同じ。

とローラン級数で表せる。ここで、このローラン級数展開の係数b(n)について、 -1 次の係数b(-1)を、F(z) の 点a における留数(residue)といい、Res(F(z))と表すことにする。

ここで、問題１の定積分の結果を利用して、問題１の定積分は n = -1 でしか値をもたないことに留意すると、点 a に孤立特異点をもつ(1)の正則関数 F(z) の定積分は、

(2) ∫F(z)dz = ∫∑b(n)(z-a)^ndz = b(-1)×2πi = Res(F(z))×2πi


(2)の結果から分かるように、一般の複素関数の定積分は、ローラン展開の -1 次の係数b(-1)すなわち留数Res(F(z))に密接に関係している。
上の結果を一般化すると、複素関数の積分について、次の留数の原理を得る。


【留数の原理】
関数 F(z) が、単一閉曲線 C を境界とする領域内に有限個の孤立特異点 a1, a2, a3,,,,, amを持ち、それ以外では正則であるとき、

∫F(z)dz = 2πi∑Res(F(z))

ただし ∑ は特異点a1, a2 ,,,, amのそれぞれの留数の和をとる。

(証明略)



積分経路を深く考慮に入れなくて済む複素関数の積分は、しゃにむに留数の導出公式を暗記して留数を求めて、留数の原理から留数の和を求めれば解は求められますが、ベースに上述の問題１の神秘的な複素積分があることを忘れないでください。そしてここでは述べませんが、複雑な積分経路を考慮に入れなければならないような複素積分こそ、基礎に帰ってコーシーの積分定理こそが重要な手綱になります。例えばシンプルな被積分関数ですが、∫(sin(z)/z)dz(定積分は 0 ～ ∞)なる定積分は、どのような積分経路を採用するかが重要になってきます。