偏差値の平均と標準偏差の信頼性

概要：
　数回のテストのデータでは偏差値の平均値の信頼性は高くない場合がある。
　まして、偏差値の標準偏差の信頼性は低い。

はじめに：
　受験校決定の際には、６年秋の複数回の模擬試験（例えば、合不合４回）の

偏差値の平均値を参考にすることになります。これに加え、偏差値の標準偏差が

わかると、さらに確度が高く受験校を設定できるのではというのを以前書きました。

では、この偏差値の平均値、標準偏差というのはどの程度信頼できるものなので

しょうか。問題の傾向、形式などは考慮せず、純粋に統計的な観点から考えてみ

ました。

方法：
　統計学における区間推計という考え方を適用します。ある個人の偏差値は本来的

には平均値μ、標準偏差σで記述される正規分布に従うと仮定します。この場合、

平均値が実力を示し、標準偏差がテストとの相性などによるばらつきを示します。

この本来的な分布を統計学でいうところの母集団とみなします。
　一方、実際に模擬試験を受けると具体的な偏差値がでてきます。４回試験を受け

れば、例えば、54, 57, 53, 54というデータが得られます。この偏差値のデータを

標本集団とみなします。標本集団の平均値x、標準偏差(不偏分散の平方根）Sは

容易に計算することができます。
　問題はこの具体的な偏差値から算出した平均値x、標準偏差Sから本来のその子が

もっている偏差値の平均μ、標準偏差σを推定できないかということに帰着します。

統計学によるとｔ分布、χ2乗分布という特殊な分布を用いるとある信頼率のもとに

これらを算出することができます。以下、数式を示しておきます

下記はExcelで計算するときのシートの例です。
　

この例では１０回のテストの偏差値データが
55.6, 57.4, 57.8, 54.2, 56.5, 58.8, 57.5, 56.5, 57.7, 54.8
であった場合に、本来の偏差値の平均値μ、及び、標準偏差σが95%の信頼性で
　　平均：　　　　55.6～57.7
　　標準偏差：　1.0～2.6
の範囲にあることがわかります。

　　注：平均の55.6～57.7の範囲のことを95%の信頼性での信頼区間といいます。

　　　　　標本のばらつきが小さいほど信頼区間は狭くなります。

結果：
　例として３人のテスト結果に関し、信頼区間を計算しました。信頼度としては統計学では

95%を用いることが多いようですが、ここでは緩く、80%とします。

３人はいずれも標本平均偏差値は57ですが、標準偏差は1, 2, 3と異なっています。

ばらつきの小さかったAさんの場合、本来の平均偏差値の80%信頼区間は約57±0.8であり、

感覚的には平均偏差値として57を用いてもよさそうです。しかし、ばらつきの大きかった

Cさんでは57±2.5となり、平均57というにはそのレンジが広すぎるような印象を持ちます。

従って、Cさんの場合は平均偏差値が55くらいであることも想定して併願対策をしたほうが

よさそうです。また、標準偏差に関してはAさんですら信頼区間のレンジが３倍程度になって

おり、使い物にはならなそうです。

使い方：

　種々のテストの偏差値の平均値をだすついでに、標本標準偏差を計算し、そこから平均の

信頼区間を計算してみましょう。平均すらぼやけたものであることを十分に認識し、特に

信頼区間が広い場合は慎重に受験校を検討しましょう。

　また、本来の標準偏差を数回のテストから推定することは困難なようです。これに関しては

受験者平均などで代用するしかなさそうです。

平均的な自己偏差値ばらつきの見積り

概要：
　５年の６月時点での平均的な自己偏差値ばらつきは２～３程度と見積もられる。

はじめに：
　以前に書いた方法(平均的な自己偏差値ばらつきの見積もり法 )を用いて自己

ばらつきを見積もってみました。

方法：
　２回のテストとして、第２回組分けと第３回組分けの週報のデータを使用しました。

そのため計算されたばらつきは成績上位層のものなります。
　方法１ではSコースの残留率から見積もっています。方法２では個々のデータの

差分に基づき、ばらつきを計算しています。
　２つのテストは１ヶ月しか離れていませんので、実力の変化はちいさく、テスト毎の

ばらつきが主因となっていると仮定しています。実際には第２回はGW直後で準備期間が

十分だったのに対し、第３回は学校行事の影響で準備不足の人がいたなど、いろいろ

な要因があります。

　　注）偏差値は平均50、標準偏差10の正規分布になりますが、計算に用いた

成績上位層の偏差値分布は偏ったものになります。にもかかわらず、

自己ばらつきと差分のばらつきの間にはほぼ1.4倍の関係があるようです。

結果：
その１)
　第２回～第３回のSコース残留率は66%でしたが、ここではSの基準が厳しくなっている

ことを考慮して（旧S/旧全体）/（新S/新全体）で補正した値、69%を用います。これによると

平均的な自己ばらつきは3.1となりました。

その２)
　個々の偏差値の差分の分布は下記のような感じです。（少し粗視化しています）

　この分布の標準偏差は3ですので、自己ばらつきは2.1と推定されます。

方法２による自己偏差値ばらつきが方法１と比較して小さい理由としては、

一方の回で週報未掲載のデータが含まれていないことがあります。

他にもいくつか要因があると思いますが、まずは目安として、平均的な自己

偏差値ばらつきは２～３程度と考えておくと良いと思います。

全国統一小学生テスト（2011年6月）

　統一テストの結果が返ってきました。通常のテストとは母集団が大きく異なるので、偏差値は参考程度で、順位を見ています。ＹＴ生の大半は受験しているので、学判の２～３倍程度の順位であれば、範囲の広いテストでも十分に対応していると思っています。

　ところで、四谷大塚のWebに決勝進出50名の名前と居住地が掲載されています。組分けの週報でいつのまにか名前を覚えてしまった超優秀なお子さんも決勝進出しています。ざっと見たところ、決勝進出者における四谷会員比率は約50%程度です。少々意外だったのは、このうち40%が首都圏以外に居住しているということです。受験者数比から考えれば妥当な結果ですが、首都圏と比較すると相対的に中学受験熱が低い地域でも、毎週テストを受け、かつ、優秀な成績をとり頑張っている子がいるというのは何か嬉しくなってきます。

　データ分析の観点からも、これらの首都圏以外の受験生のことを考える必要がありそうです。以前、学判における立ち位置の目安を検討した際（立ち位置を知る） 、若干厳しめの結果がでていましたが、首都圏以外の学校を考慮していなかったためかもしれません。

５年第３回組分け

はじめに：

　四谷大塚の５年第３回の公開組分けテストのコース分けの
結果を集計してみました。

方法：

　週報のデータを使わせていただきました。詳細は割愛します。

結果：

	旧S	旧C	旧B	旧A
新S	66%	11%	0.5%	0.1%
新C'	30%	46%	10%	0.3%
新BA他	4%	43%	90%	99.7%

表の見方は下記のとおりです。
・横が前回のコース（旧）、縦が今回のコース（新）です。
・例えば、旧Sの列と新Sの行のクロスしたところにある
66%は「前回Sだった人の66%が今回もSになった」ことを
意味し、いわばSの残留率（キープ率）を示しています。
・同様にCの残留率は46%となっています。
・ただし、新Cに関しては成績優秀者欄に全ての
人が掲載されているわけではないので、新C'としています。
・CからSへのUP率は11%となっています。これを含めると

実質的なCの残留率は57%＋αと推定されます。

注意：

・組分け、コース分けの結果は気にしすぎないようにしましょう（自戒）。

週テストの順位から、次の組分けでのコースのUP,DOWN,KEEPを

予想する際の目安程度に使えば良いと思います。

・上表は縦に足すと100%（四捨五入誤差除く）になりますが、

　横に足しても100%になりません。これは旧コースの人数を分母に

　百分率を計算しているからです。新コースを分母にした場合、

　S→Sは68%になります。この数字はいわば新Sにおける旧Sの

　占有率に相当します。

p.s.　

　本ブログは四谷大塚で学ぶ親子をサポートすることをモットーに

　しています。

　この種のデータを公にすることに問題があるようであれば、

　ご連絡ください　->　四谷大塚さん

５年理科上 音と光（特に反射、屈折、レンズ）

はじめに：

　明日の組分けの理科には苦手意識のある「光」があります。予習シリーズを読んでも、

なぜそうなるのかが書かれていないので（数学が必要なので仕方ありませんが）、

理解不足のようです。そこで、高校レベルの物理の考え方だけを教えて、理解を深める

ことを試みました。

光の性質の理由：

　光の反射、屈折、レンズの性質は全てホイヘンスの原理から導かれます。ホイヘンス

は人の名前です。ホイヘンスの原理によると、音や光のような波は、波面上の各点が

点源となって、そこから出る球面波の重ね合わせとして伝わっていきます。

（池に石を投げたいれたときの波面の様子を想像してください）

　反射の法則、すなわち、入射角＝反射角は反射の際の同位相面を幾何学的に

考察することにより得られます。また、屈折の法則（媒質が異なる境界で光が曲がる

現象）も媒質での光の速度の差を考慮することにより同様に得られます。

　一般に、光が媒質の境界面に達した時、光の一部は屈折し、残りは反射します。今、

水中（ガラス）から空気中のように光が遅い媒質から速い媒質に入射する場合を考え

ます。屈折の法則をsinB=sinA×Vb/Vaと書き直します。Vb>Vaを仮定しているので、

sinA=Va/Vbとなるような各A＝Cで光を入射した場合、屈折後の角はSinB＝１より、

B＝９０度となり、屈折光は境界面に沿ってすすみます。さらにAが大きいと屈折の

法則の式に解はなくなり、屈折光はなくなります。これを全反射、角Cを臨界角とい

います。

　レンズによる光の進み方は屈折の法則を球面上のレンズに適用することにより得

られます。光軸上のA点の点光源から出た光がB点に集まるとすると、焦点距離を

ｆとして（ｆはレンズの曲率半径で決まります）
　1/a+1/b=1/f
の関係にあります。この式により、「光源の位置ととつレンズを通る光」の項が定量的

に説明されます。

　　　　注：　このレンズの公式は５年の予習シリーズでは扱っていませんが、

　　　　　　　６年下の予習シリーズのまとめ単元では等価な式が比の形式で

　　　　　　　示されています。算数で比を学習したのち、講習などで扱われる

　　　　　　　のでしょうか？

予習シリーズの補足
・プリズムと全反射
　プリズムの場合、上記臨界角が約40度になるような素材が使われている

そうです。ですから、４０度以上の入射角で入射した光は全て反射することに

なり、その場合の反射角は入射角に等しいくなります。すなわち、４５度

で入射した光は４５度に反射してでていきます。
・とつレンズを通る光とできる像

　とつレンズを通る光は
　（１）光軸上の点Aを通る光はレンズの公式によりBをとおる
　（２）レンズの中心を通る光は直進する
で求めることができます。さらに（１）の特別な場合として、
　（１ａ）焦点を通る光（Ａ＝-ｆ）は平行に進む
　（１ｂ）平行な光（Ａ＝－∞）は焦点を通る
が考えやすい点になります。レンズによってできる像を図で示すためには
上記（１ａ）、（１ｂ）、（２）の線をかけばよいことになり（実際には３本の

光線は１点に集まるので2本かけば十分です）、予習シリーズでも使われて

います。
　ここでは位置だけしかわかりませんが、（１）（２）を用いた方法を紹介します。

これにより、「光源の位置とレンズを通る光」と「とつレンズによりできる像」

の関係がより明確になると思います。具体的には物体（例えばろうそく）の

像を考えるとき、炎の先端ではなく光軸上にある下の部分を考えます。

このとき、（２）が光軸そのものになることは自明です。（１）の線はレンズの

公式に対応します。従って、像の位置もレンズの公式に対応します。

従って、レンズの公式を小学生がわかるように翻訳して、

表にまとめれば、「光源の位置ととつレンズを通る光」も

「とつレンズによってできる像」もばっちりになるはずです。

p.s.　高校物理を使った説明は子供には少し難しすぎたようです。

実験で実感することが大事なようです。

参考文献：　新・物理入門（山本義隆、駿台文庫、1996年）