平均的な自己偏差値ばらつきの見積もり法

概要：
　テスト毎の偏差値ばらつき（自己標準偏差）が受験者に依存しないと仮定し、

２回のテストをシミュレーションすると、

　２回のテスト偏差値の差分の標準偏差＝1.4×自己標準偏差
　残留率（偏差値６３以上）＝１－0.1×自己標準偏差

の関係がある。これらから、平均的な自己標準偏差を見積もることができる。

はじめに：
　テスト結果を詳細に分析し、合格のための戦略を検討するためには、ばらつきに

関する考察が欠かせません。ここでいうばらつきとは個人のテスト間のばらつきの

ことであり、過去のテストの偏差値の標準偏差として計算することができます

（テストの回数が少ないので精度は高くありません）。この偏差値の標準偏差を

自己標準偏差と呼ぶことにします。この自己標準偏差を評価するためには、

他の人の偏差値のばらつき、言い換えれば平均的な自己標準偏差が

どの程度かを知っておく必要があります。

本稿では、テスト結果のデータからこの平均的な自己標準偏差を求

めるための公式を簡単なシミュレーションから導出しています。

方法：
　偏差値の定義より、母集団全体の偏差値の平均値は50、標準偏差は10に

なります。
　N人の受験生を考えます。彼らはその学力に応じ、持ち偏差値（平均偏差値）、

Mi（i=1～N）を持ちます。ただし各回のテストでは問題との合性や調子によって

テストの出来がばらつきます。この個々の受験生の各テスト毎の偏差値の

ばらつき（自己標準偏差）をSiとします。言い換えると、ｉさんは多数回テストを受けるとそ

の持ち偏差値はMi、標準偏差はSiとなります。

　ここで簡単のため、以下の仮定をおこないます。

　・各受験生の持ち偏差値をN人の度数分布としてみると正規分布にしたがう　
　・各受験生のテスト毎の偏差値のばらつき（自己標準偏差）も正規分布にした

　　がう。さらにそれは受験生によらずに等しい。（平均的な自己標準偏差を求めるため）
　・各回のテストでは偏差値の平均は50、標準偏差は10となる。そのために、持ち

　　偏差値の標準偏差は（100-S×S）の平方根とする。

　　（テスト間ばらつきの分だけ、個人間ばらつきを減らしています。厳密ではありま

　　せんが、概ねこの操作によりテストの標準偏差が10になります）

　各自の平均偏差値、及び、その標準偏差を正規分布に従う確率分布としてExcelで２回の

テストをシミュレーションしました。

結果：
　最初に自己標準偏差を2でN=5000人とした場合の結果について示します。
　下表は計算結果の例です。例えば、ID-2番さんの場合、持ち偏差値は53ですが、

１回目は51.5、２回目は55.1になっています。このばらつきは自己ばらつきになります。

　下図は２回のテストの結果の偏差値分布を示しています。上表で示したように個人で

みると偏差値はばらついていますが、集団としては概ね一致した分布となっています。

　下図は２回のテストの偏差値の差分の分布を示したものです。この差分の分布の

平均はゼロであり、標準偏差は2.8となっています。この標準偏差は自己標準偏差

の1.4倍に相当します。

　下図は一回目のテストで63以上であった474人の２回目のテストでの偏差値の

分布を示したものです。自己ばらつきのため、92人は２回目のテストでは63以下の

偏差値になっていることがわかります。

ここで偏差値Xの残留率を

　残留率　＝　１回目、２回目共に偏差値X以上の人数／１回目に偏差値X以上の人数

と定義します。図３の場合、この残留率は80%となります。

　次に差分のばらつき、及び、残留率の自己標準偏差依存性を示します。

下図は差分の分布の標準偏差の自己ばらつき標準偏差依存です。

差分の標準偏差と自己ばらつき標準偏差には

　差分の標準偏差＝1.4×自己標準偏差　　　　　・・・（１）

の関係があります。。これは２つの独立な正規分布に従う確率変数X、Yの差、X-Yの

標準偏差が√2倍になることと類似した性質

です。

　下図は残留率（基準偏差値63）の自己標準偏差依存性を示しています。

残留率と自己標準偏差の間には

　残留率＝１－0.1×自己標準偏差　　　・・・（２）

の関係があります。図の直線の傾き（上式の0.1）は基準偏差値に依存して変化します。

基準偏差値が大きいほど傾きは大きくなります。詳細は省略します。

使い方：
　個々の受験者の複数回のデータがあれば、（１）式から平均的な自己標準偏差を

求めることができます。また、残留率がわかれば（２）式から平均的な自己標準偏差を

求めることができます。残留率による見積もりは組分けの他、合不合と入試結果などに

適用することができます。

　各個人の自己標準偏差と平均的な標準偏差を比較することにより、ばらつきが

大きいかどうかの目安を知ることができます。

補足：

　平均的な自己標準偏差は各個人の多数回のテストにおける自己標準偏差の平均

として計算するのが最もオーソドックスです。ただ、各個人の多数回のテスト結果を

入手することは可能だとしても、時期が遅くなってしまいます。

ボーダーライン偏差値の推定

概要：

　ボーダーライン偏差値は50偏差値＋約１．５

はじめに：

　ボーダーライン偏差値を入学試験での合格最低点を四谷偏差値に
換算したものとして定義し、四谷大塚の入試結果グラフの
データから推定します。

推定方法：

　下図は入試結果グラフの例、すなわち、ある学校の合格者（合格進学者＋

合格非進学者）と受験者（棄権者を除く）の四谷偏差値毎の分布を示したものです。

不合格者は受験者と合格者の差分になります。

四谷偏差値は複数回の合不合の試験の平均偏差値であり、個々の受験生が
毎回、同じ偏差値がとるわけではありません。このばらつきのために、
高平均偏差値での不合格や低平均偏差値での合格が生じることになります。
（他にも、テストの違いなどいくつかの要因はあります）

本番の試験結果を再現し、ボーダーライン偏差値を推定するために次のような操作を
おこないます。

　　・偏差値の低い合格者と偏差値の高い不合格者を入れ替えていく
　　　（四谷大塚のwebに掲載されている入試結果グラフでいえば、偏差値の高い
　　　　ところにあるオレンジ色を偏差値の低いところにある黄色（黄緑）で
　　　　埋めていくというイメージです）
　　・これを偏差値の高い不合格者がいなくなるまで続けます。

この操作は低平均偏差値で合格した集団は本番では合格最低点を上回り、
高平均偏差値で不合格になった集団は本番では合格最低点を下回っていることを

反映させるためにおこなっています。

この操作をすると、さきほどの図は次のようになります。

この操作後の合格者分布の最低偏差値を四谷換算のボーダーライン偏差値と
推定します。

　注）・実際には、受験者の高偏差値側からの累積分布が合格者数に一致する
　　　　偏差値をボーダーライン偏差値として計算しています。
　　　・入試結果グラフにおける実質倍率が本番に近いことを仮定しています

結果：

　いくつかの学校について計算した結果を下表に示します。

比較のため、50、80偏差値、及び、50偏差値との差異も示しています。

学校	Y80	Y50	ボーダー	差異
桜蔭	68	64	65.5	1.5
女子学院	66	63	64.5	1.5
雙葉	64	61	63.1	2.1
フェリス	64	60	61.5	1.5
横浜雙葉	60	56	56.9	0.9
立教女学院	61	57	56.8	-0.2
香蘭	55	50	48.4	-1.6
豊島岡1	67	64	63.5	-0.5
豊島岡2	68	64	64.9	0.9
豊島岡3	67	64	64.1	0.1
浦和明の星1	63	59	61.4	2.4
横浜共立A	59	55	54.0	-1.0
洗足1	59	56	54.3	-1.7
洗足2	60	56	57.2	1.2
洗足3	61	57	56.5	-0.5
鴎友1	59	55	56.6	1.6
鴎友2	61	57	57.9	0.9

　　注：偏差値は2010年入試結果（合不合は2009年、SAPIXも受験）のデータに

　　　　基づいています。2011年以降は数値をそのまま参考にすることはできません。

50偏差値と比較するとボーダーライン偏差値は女子学院などで+1.5程度ですが、
香蘭、洗足１などでは負の値になっています。
負になっている学校の入試結果グラフをみると、50偏差値より下にも
かなりの合格者がいることが確認できます。これらの学校に関しては
あまり良い統計データになっていないと思われます。

一方、正の値になっている学校の入試結果グラフは概ね低い偏差値で

合格者数が減少する傾向になっています。

そこで、ここでは全体的な目安としては

　ボーダーライン偏差値＝50偏差値＋約1.5

と結論づけることにします。ボーダーライン偏差値が50偏差値を若干

上回るというのは、ボーダーライン付近での合格率が50%強と近似される

（正確には倍率などにも依存）ことから妥当な結果と思われます。

使い方：

　わざわざボーダーライン偏差値を意識するメリットは以下のとおりです。

例えば平均偏差値57の子が鴎友1を受験するとしましょう。50、80偏差値を

目安にすると、50～80%の間、例えば65%の確率で受かる、あるいは35%の確率で
残念な結果になってしまうと判定されます。しかしながら、ボーダーライン偏差値を

使うと、平均偏差値がボーダーラインを上回っていることから、「普段通りの力を

発揮できれば合格できる」とポジティブなアドバイスを自信をもって与えることが

できます。逆に平均偏差値がボーダーラインを超えていない場合は何か良いことが

なければ、合格しないということを冷静に覚悟することになります。

受験校の決定

概要

　受験校決定に必要なのは、子の成績（偏差値の平均、標準偏差）とボーダーライン偏差値

　と親の覚悟

・まだまだ先の話ですが．．．

中学受験の目標は志望校に合格することです。

そのためには志望校の中から、合格の可能性のある受験校を選び、

その入学試験で募集定員（あるいは、合格予定数）以内の順位に入る必要があります。

受験校を選ぶ際の参考になるのが四谷大塚が公表している80偏差値、50偏差値

です。例えば、X中学の80偏差値が56であるとは次のことを意味します。

　　A．合不合の平均偏差値が56である100人がX中学を受けた場合、80人が合格する（した）

語尾の「する」、「した」の違いは予想偏差値と結果偏差値に対応します。

80(50)偏差値はおそらく役に立つのだと思いますが、親の立場からすると、本当に

知りたいのは

　　Ｂ．うちの子はX中学にどれくらいの確率で合格するか

です。どれくらいの確率をＯＫとするかは親が覚悟をもって決めなくてはいけません。

Ｂをもう少し細かく言うと、

　　Ｃ．うちの子（偏差値の平均が57で、その標準偏差が3）はX中学（ボーダーライン

　　　　偏差値が52）にどれくらいの確率で合格するか

となります。偏差値の平均は従来から指標として使われているものです。

偏差値のばらつき（標準偏差）はその低減策が親のサポートの肝である

といえるほど重要ですが、模擬試験の回数が少ないことから正確に見積もるには

工夫が必要かもしれません。本ブログでも、折に触れ言及するつもりです。

ボーダーライン偏差値については次稿で説明します。この３つのパラメーターが

決まれば確率は例えば正規分布を仮定することにより容易に計算できます。

　Ｃの方法を採用すれば、特に併願校や抑えの学校の選択がリーゾナブルに

おこなえるのではないかと考えています。

　　補足）

　　・ＡとＣの違い

　　　Ａでは全ての受験者の偏差値ばらつきの平均を考慮した基準偏差値（80偏差値）

　　と自分の子供の平均偏差値を比較して合格可能性を判定します。一方、Ｃでは

　　自分の子供の平均偏差値及びばらつきと、ばらつきを考慮しない基準偏差値

　　（ボーダーライン偏差値）を比較して合格可能性を判定します。偏差値のばらつきを

　　基準偏差値に入れ込むか、そのばらつきが個々のものか、集団のものかが

　　差異となります。

　　・巷では抑えの学校は80偏差値が子供の平均偏差値より5～10下が良いという

　　　説があるようです。本当にそんなに必要なのかを明らかにしたいというのも

　　　Ｃの方法を調べてみようと思った動機です。

偏差値と正答率の関係

はじめに：

　inter-eduの四谷大塚の掲示板で、正答率と偏差値の間に

　偏差値＝１００－正答率

という関係があるという説が紹介されていました。

そこで、先日の５年生組分けのコース基準点と正答率の関係 を偏差値に

焼き直し、検証してみました。

結果：

正答率30～70%、偏差値70～30の範囲でこの説はそこそこ使えそうですね。

立ち位置を知る（３）

その３）学判の順位を利用

四谷大塚さんの計算している50%偏差値を基準にするのが基本と思い

ますが、ここでは順位による確認法を女子について試みてみました。

方法

・四谷系の2011年の合格実績を調べる

・各中学の割増率（合格者／入学者）をホームページでチェック

　（入学者がわからない場合は定員を使用）

・共学の場合は女子比率をチェック

・上記３つのデータから、四谷系からの女子進学者数を推定

・中学を適当にグループ分けして順位の目安を作成

仮定

・学判受験者はほぼ入学試験受験時の四谷系母集団をカバー

　（６年時の組み分けクラスから推定して、それほどはずれていないと

　　思われます。ただし、四谷系の場合、５年まで自宅や通信で

　　準備して、６年のみテスト、授業を受けるという方もいるので、

　　やや甘めの仮定かもしれません）

・国立、地方の学校は考慮していません

結果

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　推定進学者　　累積数

A　桜蔭　JG　中等部　早実　　　　　　　　　　 　 150 　　　　　　150

B　豊島岡　雙葉　フェリス　渋幕　SFC　　　　　　130 　 　　　　280

C　白百合　浦和明の星　渋渋　明治　青学　　 120 　　　　　400

D　横浜雙葉　横浜共立　鴎友　洗足　吉祥

　　頌栄　立教　学習院　晃華　鎌倉女

　　湘南白百合　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　430 　　　　　　830

ここで、「累積数」は上位グループから、そのグループまでの累積推定進学者です。

従って、この累積数が順位の目安になります。例えば、学判の女子順位が

２００位だった場合、Bグループが目標となりそうと立ち位置を知ることができます。

注意

・結果資料集で累積数（順位）→得点→偏差値→偏差値表と逆に推定して

　検証すると、この順位の目安は偏差値表と比較して若干厳しめのようです。

・計算間違いのある可能性がありますので、あまり鵜呑みにしないでください。