以前、サイコロキャラメルパズルについて、より大きなケースにアンチスライドに詰める時の最小個数を予想して遊びました。
一方で、最大はいくら詰め込めるのかなーと思っていたのでした。
ケースの一辺が偶数の場合は、明らかにキャラメルは隙間なくキチキチに詰めることができます。
これは何も面白くありませんが、奇数の場合はどうなるのか当たり前ではないですよね？考える価値はありそうかな？
ということで、考えてみたところ、最大個数を求めることができました。
問題「ｎ×ｎ×ｎの大きさのケースに１×２×２サイズのキャラメルをアンチスライドに詰める時の、キャラメルの最大個数はいくつか？」
ｎが偶数の場合は先ほど述べたように、隙間なく詰められるので(ｎの３乗)／４個が最大です。
以下、奇数の場合を考えましょう。
まず、ケース容量が１×１×１の場合は、キャラメルは一つも入らないので答えは０です。
３×３×３の場合は次のように詰めてみましょう。
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こうすると容量２７の所に６個詰められます。スペースは３でキャラメル1個の体積は４ですから、これ以上の個数は詰めることはできません。
よって、答えは６です。
ちなみに、この場合のスペースの位置はケースの立方体の一本の対角線上に位置しています。
次に、一辺が５以上の場合も、一本の対角線上にのみスペースが位置する詰め方ができることを示しましょう。
この場合はスペースがｎ個ですから、詰められるキャラメルの個数は（ｎの３乗ーｎ）／４個となります。
まず、ケースが５×５×５の場合を考えてみましょう。
キャラメルを４つ使って１×４×４の大きさのプレートをつくり、これを６つ用意します。
この６つのプレートを、３×３×３の時と同じ要領で５×５×５ケースに詰めると、中心に３×３×３の空間を残して詰め込むことができます。このとき、ケースの立方体の対角に位置する頂点の部分にスペースが出来ていることに注意しましょう。
中心の３×３×３の空間にさっきと同様の方法で詰めれば、スペースが５個で詰め込むことができます。
一般の奇数ｎの場合も同様に
1×(n-1)×(n-1)のプレート６つを外側に詰めると、中心に(n-2)×(n-2)×(n-2)の空間ができますから、あとは帰納的に詰め方を導くことができます。
あとは、これが最大になっているかどうかです。
辺を長くするにつれてスペースがどんどん増えていきますから、もっとうまく詰めるとスペースを減らせるかもしれません。
ですが、実際にはこれがキャラメルの個数が最大（＝スペースが最小）の詰め方であることを示すことができます。
次の通りです。
「今、ｎ×ｎ×ｎのケースに最大個数のキャラメルが詰められていると仮定します。
全体を水平面で切っていってｎ分割することを考えましょう。
上から１段目、2段目、・・・、とｎ段目までできることになります。
ｋ段目に注目しましょう。（１≦ｋ≦ｎ）
ｋ段目の容量はｎ×ｎです。
キャラメルは、半分に切られた１×１×２サイズのものと、切られていない１×２×２サイズの2種類があります。
ｎは奇数ですので、ｎ×ｎも奇数であり、キャラメルの体積は２か４の偶数ですから、少なくとも１つはスペースができていることがわかります。
全てのｋ（１≦ｋ≦ｎ）について同じことが言えるので、全体で少なくともｎ個のスペースが必ず出来ていることがわかります。
よって、最大個数のキャラメルを詰めた時のスペースの数はｎ以上となります。」
以上より、スペースがｎ個となる詰め方が、スペースが最小（キャラメルが最大）ということがわかりました。
この場合のキャラメルの個数は
(n^3-n)/4=(n-1)*n*(n+1)/4
となります。
まとめると
ｎ×ｎ×ｎの大きさのケースに１×２×２サイズのキャラメルをアンチスライドに詰める時の、キャラメルの最大個数a(n)は
と決定できました。
めでたしめでたし
数列を書き出しておきましょう
キャラメルの最大個数は
0, 2, 6, 16, 30, 54, 84, 128, 180, 250, ・・・
となります。
以前予想した最小個数の数列が
0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, ・・・
ですから、結構差が開いていくなぁ～～～
どうなんだろ、やっぱり最小個数の予想は間違ってるのかなー？
上で得た数列0,2,6,12,…をオンライン整数列大辞典で探してみると、
初項の0を除いた数列A005996（2,6,12,…）が見つかります。
なんかよく分からない条件をみたす3つ組みの数・・・、なんかよくわからない条件を満たす正方行列の成分の総和・・・、webグラフの最長の路の数・・・
わけがわかりませんね。キャラメルの詰め込みと関係性もとても見出せそうにありません。
ちなみにスペースの数の数列は
1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 9, 0, ・・・
となって、A193356という数列です。こんな数列もあるんですね。
こちらも説明を読んでもわけが分かりませんが・・・。