前回シンプソンのパラドックスが不思議だと言いましたが、簡単なグラフで図示すると分かりやすいことに気が付きました。
前回の例を簡単におさらい
ジーパン スカート
室内楽 1/2 50% 3/7 約43%
テニス 5/18 約28% 2/8 25%
室内楽、テニスともにジーパンの方がいい子の割合が多いですが、合計すると
ジーパン スカート
6/20 30% 5/15 約33%
と割合が逆転する現象が起こるのでした。
この値を、
横軸(x軸)を全体の人数、縦軸(y軸)をいい子の人数として図で表しましょう。
室内楽クラブのジーパンは全体が2人、いい子が1人なので座標(2,1)の点を取ります。
同様に、室内楽クラブのスカートは(7,3)になります。
このとき、いい子の割合はy/xとなるので、今取った点と原点をつないだ直線の傾きになります。
上の図ではジーパンの方が傾きが大きいことから、割合が多いことが見て取れます。
同じようにテニス部ではジーパンが(18,5)、スカートが(8,2)となって、やはりジーパンの方が傾きが大きいことが確認できます。
これらの足し合わせですが、前回と同じ記号を使うことにすると
と表せます。この式は
と変形できます。この式は2点の中点が示す割合を表していることになります。
ジーパン、スカートのそれぞれ中点を取ると
このようになります。
それぞれの中点と原点を結んだ直線を見ると、
スカートの方が傾きが大きくなっている！
割合が逆転する様子が視覚的に確認できます。わかりやすい！
これって？てゆうことは？てゆうことはですよ。
上の図のような組み合わせの点達を見つければいいんですよね。
ここまで来て気が付きましたが、シンプソンのパラドックスってすごく簡単なことなんじゃないでしょうか？
座標平面上に2点a、bを取ってその中点をcとしましょう。
すると原点と各a, b, cを通る直線L, M, Nが得られます。
シンプソンのパラドックスのような例というのは、
「Lより下に点dを
Mより下に点eを取って、
dとeの中点fがNより上にあるようにする」
という条件を満たせばいいことになりますね？
ただし、いい子が全体の人数を越えてはいけないのでL, Mの傾きは1以下でないといけないことに注意しましょう。
こんなの普通に見つかるでしょ。
こんな風に取ればいいだけですもんね。
おー、簡単じゃないか。この図を見れば、条件を満たす値が存在することは全く不思議じゃないですね。いくらでも見つけられそうです。
実はすごく簡単なことだったのね。また一つ賢くなりました。