Webで数学！数学史からみえてくるもの：カントール

Webで数学、
数学史からみえてくるもの：カントールです。

今日は、
紀元後のカントールにフォーカスします。

１８００
　ゲオルク・カントール
　　(ドイツ)
　　集合論

ゲオルク・カントールは、
ドイツの数学者です。
集合論や無限に関する研究で業績を残しました。

超限数

カントールは無限には異なる種類があることを見出し、超限数と名付けました。
現代数学では無限集合同士の大小を比較するために「濃度」という概念を用いています。

超限数は「 ℵ （アレフ）」の記号で表されます。
無限集合のうちで濃度が最小のものは「 ℵ0 （アレフ・ゼロ）」で表し、
自然数全体の集合 N がこれにあたり「可算濃度」と呼びます。
また、整数全体の集合 Z や有理数全体の集合 Q の濃度も ℵ0 となります。
一方、実数全体の集合 R の濃度は 2^ℵ0 となります。

連続体仮説

カントールは
「可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しない」、
つまり「 ℵ0 より濃度が大きく 2^ℵ0 より濃度が小さい無限は存在しない」とする仮説を立てました。

カントールは対角線論法により可算濃度より連続体濃度の方が大きいことを証明しましたが、
連続体仮説については証明することができませんでした。

この連続体仮説は1900年の第2回国際数学者会議において、
ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトによる「ヒルベルトの23の問題」の第1問題として挙げられました。
後にクルト・ゲーデル、ポール・コーエンの研究により、
連続体仮説は証明も反証もできない命題であることが証明されています。

明日はクラインにフォーカスします。

お楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。