Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。
Webで数学、
素数と階乗の関係についてです。
「素数」とは、
１と自分自身以外には約数を持たない数で、
素数でないものは「合成数」というのでしたね。
すべての自然数は、
素数のかけ算で表わすことができること、
そして、
素数は無限に存在するけれど、
大きくなるに従って、
次第にまばらになることがわかっています。
また、
「階乗」とは、
びっくりマーク「！」で表わされる計算で、
ある数までのすべての自然数を掛け合わせるものでした。
１！ （1の階乗）
２！ （2の階乗）
３！ （3の階乗）
・・・と読みます。
式と結果は、
１！＝１＝１
２！＝１×２＝２
３！＝１×２×３＝６
となるのでした。
今回はこの２つの要素を組み合わせてみてみましょう。
10の階乗を使って、
「素数は大きくなるに従って次第にまばらになる」
ことを見てみましょう。
１０！＝１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０
＝３６２８８００
はこんな計算式と答えになります。
この数は、
１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０
という約数を持つので素数ではありませんね。
では、
１０！＋１
１０！＋２
１０！＋３
１０！＋４
１０！＋５
１０！＋６
１０！＋７
１０！＋８
１０！＋９
１０！＋１０
このようにずつ加算したらどうでしょう？
１０！＋１ ＝ ３６２８８０１
１０！＋２ ＝ ３６２８８０２
１０！＋３ ＝ ３６２８８０３
１０！＋４ ＝ ３６２８８０４
１０！＋５ ＝ ３６２８８０５
１０！＋６ ＝ ３６２８８０６
１０！＋７ ＝ ３６２８８０７
１０！＋８ ＝ ３６２８８０８
１０！＋９ ＝ ３６２８８０９
１０！＋１０＝ ３６２８８１０
このようになりますね。
この式を変形してみると、
１０！＋１ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+1
＝1×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋２ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+2
＝2×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋３ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+3
＝3×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋４ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+4
＝4×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋５ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+5
＝5×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋６ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+6
＝6×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋７ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+7
＝7×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋８ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+8
＝8×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋９ ＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+9
＝9×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
１０！＋１０＝(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)+10
＝10×(1×3×4×5×6×7×8×9×10+1)
となり、
１０！＋２から１０！＋１０までの数は
約数を持っているので
「素数」ではない「合成数」だとわかりますね。
ではこれを
１００！＋２から１００！＋１０まで
とした場合はどうでしょう？
この場合も
１０！＋２から１０！＋１０までと同様、
１００！＋２から１００！＋１０までの数は
約数を持っているので
「合成数」だとわかります。
１０００！＋２から１０００！＋１０までの
場合も同じく、
１０００！＋２から１０００！＋１０までの数は
約数を持っているので
「合成数」になります。
このように考えていくと、
素数がいかにまばらに存在しているかが
わかりますね。
素数のはじめの数は「２」、
そして「３」「５」「７」「１１」・・・
と小さい数のときは、
すぐ近くに存在していた素数が、
大きい数になると、
滅多にお目にかかれない
貴重な存在となっているのがわかります。
これも「素数」の魅力なのかもしれませんね。
