aは正の定数とする。空間内の3点O(0,0,0),A(2a,2,0),C(-a,2,0)に対して点P(x,y,z)は条件
を満たす。このとき以下の問いに答えよ。
(1)四面体POABの体積が最大となるような点Ｐの座標を求めよ。
(2)(1)のときさらに∠APB=π/3となるようなaの値を求めよ。
制限時間は１００分
aを1<a<3であるような実数としｘの関数
f(x)=
+
+
を考える。以下の問いに答えよ。
(1)
とおく。さらに
とおくときＡ、Ｂ、Ｃの大小関係はｐの値によってどのように変わるかを調べよ。
(2)f(x)の最小値をpの関数とみなしてg(p)とおくときg(p)の最小値を求めよ。
文系は後ほど
画像は基本的にコピペ(PDFブラウザのカメラボタン→windows付属のペイント機能やwordなどにはりつけ→pngに変換)だが画像数の関係上答えすべてうｐするには限界(上限は10枚)がある
コメント欄などで言ってくれればその問題の答えは書きます
①1/a
②
３
③
④
√７
⑤
(1)S_4=1 ,S_5=3
(2)
(3)
P_2m
=
⑥
0.047
１からｎまでのすべての整数を１つずつ書いたｎ枚のカードの中から、同時に３枚のカードを取り出す。取り出した３枚のカードに書いてある数を長さとする３本の線分で三角形をつくることを考える。三角形ができるようなカードの取り出し方の総数をS_nとし、三角形ができる確率をP_nとする。以下の問いに答えよ。ただしｍは整数で、ｍ≧３とする。
(1)S_4とS_5を求めよ
(2)S_{2m}をS_{2m-1}とｍを用いて表せ。またS_{2m-1}をS_{2m-2}とｍを用いて表せ。
(3)P_{2m}を求めよ
ｘｙｚ空間のｘｙ平面上に点(1，0，0)を中心とする半径1の円板状の鏡Ｍ(円周上を含む)がある。
点Ａ(2,0,2)と定数d(d>2)に対してＡＰ＝ｄを満たす点Pをｙｚ平面上にとるとき、とのようにPをとっても、Aから鏡Ｍを見るとつねにPがＭ上にうつって見えるようなｄの最大値を求めよ。
上底の半径１、下底の半径Ｒ、高さ√１５(R-1)の直円錐台Vがある。ただしＲは√２＜Ｒ＜２を満たす定数とする。上底の中心Ｏを通って上底に垂直な平面でＶを切ってできる台形の頂点を下図のようにＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。円錐台Ｖの表面を通ってＢからＤへ行くときの最短距離を求めよ
0≦α＜１を満たす実数αを小数表示すると、小数点以下第i桁目がa_i(0≦a_i＜１０)であるという。このとき、自然数の定数ｎに対して、以下のように自然数をiとして数列{b_i}および{c_i}を定義する。
ただし、[ｘ]はｘを越えない最大の整数を表す。
(1)０以上の整数ｍに対して、
が成り立つことを示せ
(2)
であることを示せ
(3)
を小数表示すると、小数点以下第i桁目がc_iとなることを示せ