A = S λ S^{-1}
たとえば，
である．
これの何が嬉しいかというと， A をかけ算するのが簡単になる点である．
10回掛けてもあまりたいしたことではない．というのもλが対角行列なのでこの power は簡単だからだ．
A^{10} = S λ^{10} S^{-1}
かけ算が簡単になるとなぜ嬉しいかは， eigenvector を考えるのがなぜ嬉しいかと同じことである．eigenvectorはある行列の中の独立した basis であり，eigenvalue を使えば行列が一つのスカラ値で示されるというのが嬉しい．
しかし，ここでこの S 行列のカラムが独立していないとこのようにはいかない．それはS^{-1}が存在しないとこのこの式が成立しないからである．
ここで最初の私の疑問に戻る． eigenvalue λ が重解を持つ場合に，それは独立した eigenvector の数に関係しているかということである．これには実は名前がついている．
- Geometric multiplicity (GM): 独立した eigenvector の数
- Algebratic multiplicity (AM): eigenvalue の multiplicity
実はこれらには厳密な関係はない．(関係はある GM <=AM).
たとえば，4x4 の行列で AM が 3 の場合 (異なる λ の数は2)， GM は2 になるかというとそうとは限らない．その例を示しておこう．
ところで，この S はちょっと特殊で Hadamard 行列と言う．以前，私はこの行列を求める話を書いた．この行列は symmetric で orthogonal な上に 1 と -1しかでてこないというすごい特殊なやつである．
また，単位行列自身もこのような例である．4x4の単位行列の固有値は λ= 1,1,1,1 であり，固有ベクトルは
の4つである．私はこれに気がつくまで一日かかってしまったが，Marcと話をしていたら，彼は最初の私の質問で単位行列の例を挙げてきた．
ただ，一般の場合には一つの λ の値に対して一つの eigenvector が対応するというのが普通だと今でも思っている． AM と GM の厳密な関係というのはあるのだろうか．独立した eigenvector の数というのは A - λ I のnull space の次元であるが，これは AM とどうかかわってくるのか．もう少し勉強しないといけない．
参考文献:
Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 4th Ed.