Eigenvalue と Eigenvector の関係で一つ疑問に思ってきたことがある．Eigenvalue はその値自体よりも multiplicity の方が興味ある対象である．なぜなら eigenvalue が同じ場合， eigenvector が独立でない「可能性がある」からである． eigen analysis のすばらしい点は， わかりやすい basis への変換にある．私の言うわかりやすいというのは， matrix が eigenvalue というスカラになってしまうという意味である． matrix は 2x2 ですら何が起こるか簡単にはわからないが，スカラ倍ならばなんとかなる．Ax = λx のmatrix A が λ に等しいというのはなんという驚きの簡単化であろうか!
ここで，eigenvalue が同じ場合， eigenvector が独立でない「可能性がある」と書いた．「可能性がある」とわざわざ quote したのは，一つの eigenvalue に対して，複数の eigenvector が存在するのかどうか不明だからである．
これが私のmultiplicity に関する疑問である．つまり，λ がmultiplicity (重解)を持つ場合，それに独立した eigenvector の数が関係するのかということである．
直感的には関わってくる気がする．というのも一つの eigenvalue に対して一つの eigenvector を計算することはできるが，二つ以上の独立した eigenvectorを探すことができるかというのが疑問だからである．
たとえば 2x2 の行列で λ = 1, 1 の場合，eigenvector は常に λ = 1 に対応する一つしかないのか? が疑問である．
これは eigenvector による対角化と関係していることが最近わかったので，ここにメモしておこう．実は私の直感は間違いである．
つまり，一つの重解になっているeigenvelue に対して複数の eigenvector が存在することは可能である．
次回は対角化と AM, GM を実際の例を見て考えてみよう．